[論文レビュー] The resolution of the universal ring for finite length modules of projective dimension two

Andrew R. Kustin|ArXiv.org|Jul 25, 2006

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多項式環 $\mathcal{P}$ 上のコーエン・コーン複体のマッピングコーンを用いて、有限長の射影次元2のモジュールの普遍環 $\mathcal{R}$ に対する座標に依存しない、特性に依存しない分解を構成する。主な結果として、$e,g \geq 5$ のとき $\operatorname{Tor}^\mathcal{P}_\bullet(\mathcal{R},\mathbb{Z})$ が自由アーベル群でないことが示され、$\mathcal{K} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}$ の次数付きベッチ数が体 $\mathcal{K}$ の特性に依存することを示唆する。

ABSTRACT

Hochster established the existence of a commutative noetherian ring $\Cal R$ and a universal resolution $\Bbb U$ of the form $0 o \Cal R^{e} o \Cal R^{f} o \Cal R^{g} o 0$ such that for any commutative noetherian ring $S$ and any resolution $\Bbb V$ equal to $0 o S^{e} o S^{f} o S^{g} o 0$, there exists a unique ring homomorphism $\Cal R o S$ with $\Bbb V=\Bbb U\otimes_{\Cal R} S$. In the present paper we assume that $f=e+g$ and we find a resolution $\Bbb F$ of $\Cal R$ by free $\Cal P$-modules, where $\Cal P$ is a polynomial ring over the ring of integers. The resolution $\Bbb F$ is not minimal; but it is straightforward, coordinate free, and independent of characteristic. Furthermore, one can use $\Bbb F$ to calculate $\operatorname{Tor}^{\Cal P}_{\bullet}(\Cal R, \Bbb Z)$. If $e$ and $g$ both at least 5, then $\operatorname{Tor}^{\Cal P}_{\bullet}(\Cal R, \Bbb Z)$ is not a free abelian group; and therefore, the graded betti numbers in the minimal resolution of $\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal R$ by free $\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal P$-modules depend on the characteristic of the field $\pmb K$. We record the modules in the minimal $\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal P$ resolution of $\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal R$ in terms of the modules which appear when one resolves divisors over the determinantal ring defined by the $2 imes 2$ minors of an $e imes g$ matrix.

研究の動機と目的

• 有限長の射影次元2のモジュールの普遍環 $\mathcal{R}$ に対する座標に依存しない、特性に依存しない分解を提供すること。
• 多項式環 $\mathcal{P}$ 上での $\mathcal{R}$ の分解 $\mathbb{F}$ を確立し、$\operatorname{Tor}^\mathcal{P}_\bullet(\mathcal{R},\mathbb{Z})$ の計算を可能にすること。
• $e$ と $g$ がともに 5 以上であるとき、$\mathcal{K} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}$ の最小分解における次数付きベッチ数が体 $\mathcal{K}$ の特性に依存することを示すこと。
• $e \times g$ 行列の $2 \times 2$ ミニマルによる行列式環上での除数の分解から生じるモジュールを用いて、$\mathcal{K} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}$ の最小分解を記述すること。

提案手法

• 分解 $\mathbb{F}$ は、$E \otimes G^*$, $F^*$, $G^*$ のシュール関手と外冪を含む複体間の写像のマッピングコーンとして構成される。
• 写像 $X \circ V: E \to G$ に付随するコホロジー複体が、$E \otimes G^* \to \mathcal{P}$ の写像を誘導する。
• 分解は、$G^*$ の対称冪、$F^*$ の外冪、$E$ の除法冪のテンソル積からなり、三重組 $(a,c,d)$ で添え字付けられる。
• 分解は無限大であるが、明快で、基本環の特性に依存しない。
• 分解の構造は、$\operatorname{Tor}$-モジュールの計算に用いられる複体 $\mathbb{M}(p,q)$ のホモロジーを介して分析される。
• 最小分解 $\mathcal{K} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}$ は、$\mathcal{P}$-分解からのベースチェンジによって得られ、シュールモジュールとそのねじれを用いて記述される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限長の射影次元2のモジュールの普遍環 $\mathcal{R}$ の分解は、特性に依存しない座標に依存しない構成を許容するか？
• RQ2 $\operatorname{Tor}^\mathcal{P}_\bullet(\mathcal{R},\mathbb{Z})$ の構造は、$\mathcal{K} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}$ のベッチ数とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathcal{K} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}$ の最小分解における次数付きベッチ数は、体 $\mathcal{K}$ の特性にどのように依存するか？
• RQ4 $\mathcal{K} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}$ の最小分解は、$e \times g$ 行列の $2 \times 2$ ミニマルによる行列式環上での除数の分解から生じるモジュールを用いて記述可能か？
• RQ5 ブックスバウム＝アイゼンバーグ乗数と因数分解定理は、普遍環 $\mathcal{R}$ の定義において果たす役割は何か？

主な発見

• $\mathcal{P}$ 上での $\mathcal{R}$ の分解 $\mathbb{F}$ は無限大であり、座標に依存せず、基本環の特性に依存しない。
• 分解 $\mathbb{F}$ は、コホロジー複体とシュール関手を含む複体間のマッピングコーンとして構成される。
• $e$ と $g$ がともに 5 以上であるとき、$\operatorname{Tor}^\mathcal{P}_\bullet(\mathcal{R},\mathbb{Z})$ は自由アーベル群でないことが示され、$\mathcal{K} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}$ のベッチ数が $\mathcal{K}$ の特性に依存することを示唆する。
• $\mathcal{K} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal{R}$ の最小分解は、特定のランクとねじれを有するシュールモジュール $T(\alpha,\beta,\gamma)$ を用いて記述される。
• $e=3$, $g=4$ のとき、分解には $\mathcal{P}'[-3,-8]^{210}$ や $\mathcal{P}'[-6,-8]^{420}$ のような和因子が含まれるが、これらはヒルベルト関数だけからは予測できない。
• $\operatorname{Tor}^\mathfrak{P}_{3,5}(M_0,\boldsymbol{K})$ の次元は、$e,g \geq 5$ のとき体 $\boldsymbol{K}$ の特性に依存し、ベッチ数の特性依存性を確認する。