[論文レビュー] The resonance counting function for Schrödinger operators with generic potentials

T. J. Christiansen, Peter D. Hislop|ArXiv.org|May 24, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、奇数次元 $d \geq 3$ におけるコンpactに台を持つ実または複素 $L^\infty$ ポテンシャルの一般集合に対して、リゾナンス数関数 $N_V(r)$ が最大の可能な成長率 $d$ を示すことを確立している。これは $\limsup_{r\to\infty} \frac{\log N_V(r)}{\log r} = d$ を意味する。バーレーのカテゴリー理論と $S$-行列行列式の解析的性質を用いて、$L^\infty$ 位相においてこの成長率が典型的であることを証明しているが、既知の例では最適でない成長を示すものもある。

ABSTRACT

We show that the resonance counting function for a Schrödinger operator has maximal order of growth for generic sets of real-valued, or complex-valued, $L^\infty$-compactly supported potentials.

研究の動機と目的

• コンパクトに台を持つポテンシャルに対するシュレーディンガー作用素のリゾナンス数関数 $N_V(r)$ の典型的な漸近的成長率を特定すること。
• 奇数次元 $d \geq 3$ における実および複素 $L^\infty$ ポテンシャルの両方について、$L^\infty$ 位相において最大成長次数 $d$ がバーレーのカテゴリー的意味で典型的であることを確立すること。
• サブオプティマル成長（$< d$ 階）が一般に起こり得るかどうかの問題を解決し、それが不可能であることを示すこと。
• 非自明な複素ポテンシャルに対してもリゾナンス数関数がゼロの成長を示す既知の反例と対照的であることを明らかにすること。

提案手法

• リゾナンス数関数を $N_V(r) = \#\{ \lambda_j \in \mathcal{R}_V : |\lambda_j| < r \}$ として定義し、ここで $\mathcal{R}_V$ はリゾルベントのメロモルフィック続行から得られるリゾナンスの集合である。
• 散乱行列 $S_V(\lambda)$ 及びその行列式を用いてリゾナンスを特徴づけ、$S_V(\lambda)$ の極がリゾナンスに対応することを活用する。
• 上半平面において $|\det S_V(\lambda)|$ が高々 $|\lambda|^q$ の割合で成長するようなポテンシャルの閉集合 $A(N,M,q,j)$ を構成し、有界な成長次数を保証する。
• $L^\infty(K;F)$ における収束性とトレースクラス作用素の推定を用いて、$B(N,M,q) = \bigcap_{j \geq 2N+1} A(N,M,q,j)$ が閉集合であることを証明する。
• 一般集合 $\mathcal{M}$ の補集合が $F_\sigma$ 集合であることを示し、$\mathcal{M}$ が $G_\delta$ 集合であることを示し、既知の一般的ポテンシャル $V_1 \in \mathcal{M}$ の摂動を用いて密度を証明する。
• $V(z) = zV_1 + (1-z)V_0$ を用いた複素解析的摂動論法を適用し、[2] の結果を用いて $\mathcal{M}$ が $\mathbb{C}$ のほとんど至る所で成り立つことを示し、$\mathbb{R}$ においては残渣的であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトに台を持つポテンシャルに対するシュレーディンガー作用素のリゾナンス数関数の最大成長次数 $d$ は、典型的な性質か？
• RQ2 リゾナンス数関数が $d$ 階未満に厳密に遅く成長することは、一般のポテンシャル集合で起こり得るか？
• RQ3 一部の非自明な複素ポテンシャルがリゾナンスを持たないにもかかわらず、$N_V(r)$ がゼロの成長を示すという事実を踏まえ、複素 $L^\infty$ ポテンシャルにおける $N_V(r)$ の成長はどのように振る舞うか？
• RQ4 $L^\infty(K;F)$ における最大リゾナンス成長次数を示すポテンシャルの集合が、どのような位相的カテゴリー（例：バーレー典型）に属するか？
• RQ5 $\limsup_{r\to\infty} \frac{\log N_V(r)}{\log r} = d$ を満たすポテンシャルの集合が $L^\infty(K;F)$ で稠密かつ $G_\delta$ であるか？

主な発見

• 集合 $\mathcal{M} = \{ V \in L^\infty(K;F) : \limsup_{r\to\infty} \frac{\log N_V(r)}{\log r} = d \}$ は $L^\infty(K;F)$ の稠密な $G_\delta$ 部分集合であり、したがってバーレー典型である。
• 任意の内部をもつコンパクト集合 $K \subset \mathbb{R}^d$ 及び奇数次元 $d \geq 3$ に対して、一般の $V \in L^\infty(K;F)$ の選び方において、リゾナンス数関数 $N_V(r)$ は最大の成長次数 $d$ を示す。
• この結果は最適である：非自明な複素 $L^\infty$ ポテンシャルのうち、リゾナンスを全く持たないもの（したがって $N_V(r)$ は $0$ 階）が存在し、自由ラプラシアンの $N_0(r)$ も同様に $0$ 階の成長を示す。
• 証明は、上半平面における $\det S_V(\lambda)$ の解析的性質と、$V$ の $L^\infty$ 収束に伴う $S_V(\lambda)$ のトレースノルム収束に依存している。
• 著者らは、既知の一般的ポテンシャル $V_1 \in \mathcal{M}$ を用いた摂動により $\mathcal{M}$ の稠密性を確立し、複素解析的結果を用いて $\mathcal{M}$ が $\mathbb{C}$ のほとんど至る所で成り立つことを示した。
• 結論は実および複素ポテンシャルの両方に対して成り立ち、最大リゾナンス成長が実ポテンシャルや対称系に限定されないことを示している。