[論文レビュー] The Ricci Curvature for Noncommutative Three Tori

Rui Dong, Asghar Ghorbanpour+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非可換3次トーラスにおける平坦計量の共形的および非共形的摂動に対して、コンヌーの擬微分作用素計算を用いてリッチ曲率を計算する。関数および1形式上の摂動されたラプラシアンの短時間ヒートカーネル展開を分析することで、リッチ密度およびスカラー曲率の明示的公式を導出し、可換極限において古典的微分幾何学と整合することを示す。

ABSTRACT

We compute the Ricci curvature of a curved noncommutative three torus. The computation is done both for conformal and non-conformal perturbations of the flat metric. To perturb the flat metric, the standard volume form on the noncommutative three torus is perturbed and the corresponding perturbed Laplacian is analyzed. Using Connes' pseudodifferential calculus for the noncommutative tori, we explicitly compute the second term of the short time heat kernel expansion for the perturbed Laplacians on functions and on 1-forms. The Ricci curvature is defined by localizing heat traces suitably. Equivalerntly, it can be defined through special values of localized spectral zeta functions. We also compute the scalar curvatures and compare our results with previous calculations in the conformal case. Finally we compute the classical limit of our formulas and show that they coincide with classical formulas in the commutative case.

研究の動機と目的

• 非可換3次トーラスにおけるスペクトル幾何的不変量（特にリッチ曲率）を共形の場合を超えて定式化すること。
• 非可換幾何学におけるギャップを埋めるために、共形的でない計量（共形的計量よりも一般）におけるリッチ曲率を計算すること。
• 局所化されたヒートトレースとスペクトルゼータ関数を用いて、非可換幾何学におけるリッチ曲率の厳密なスペクトル的定義を確立すること。
• 導出された公式が可換極限において古典的微分幾何学の公式に還元されることを検証すること。
• 共形的および非共形的計量摂動下でのスカラー曲率およびリッチ曲率の明示的表現を提供すること。

提案手法

• 非可換トーラス上でのコンヌーの擬微分作用素計算を用いて、摂動されたラプラシアンを分析する。
• 関数および1形式上のラプラシアンの短時間ヒートカーネル展開における2番目の項を計算する。
• 局所化されたヒートトレースの差を用いてリッチ曲率を定義する：$\mathcal{R}ic(F) = a_2(\mathrm{tr}(F), \triangle_0) - a_2(F, \triangle_1)$。
• ウェイツェンボックの公式を用いて、1形式上のラプラシアンとリッチ作用素およびスカラー曲率を関連付ける。
• スペクトルゼータ関数を用いて、留数項および定数項を用いて、次元 $m > 2$ の高次元におけるリッチ関数の定義を提示する。
• 再配列補題を用いて非可換トレースを簡略化し、曲率公式における明示的関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換設定下で、3次トーラス上の共形的でない計量に対してリッチ曲率をどのように定義・計算できるか。
• RQ2 共形的および非共形的計量摂動下でのスカラー曲率およびリッチ曲率の明示的表現は何か。
• RQ3 非可換リッチ曲率の公式が可換極限において古典的公式に還元されるか。
• RQ4 曲率計算に現れる関数は何か。また、それらは低次元非可換トーラスにおける関数とどのように関係しているか。
• RQ5 スペクトルゼータ関数のアプローチは、スカラー曲率を超えて非可換幾何学におけるリッチ曲率の一貫性ある定義を提供できるか。

主な発見

• 定理3.6では、非可換3次トーラス上の共形的平坦計量におけるリッチ密度が明示的に計算され、関数 $F_{1,1}(s_1)$、$F_{2,1}(s_1)$、$F_{3,1}(s_1)$ を含む。
• 非共形的摂動の場合、スカラー曲率は定理4.3で導出され、$F^{[2]}_{1,1}(s_1)$、$F^{[2]}_{2,1}(s_1)$、$F^{[3]}_{3,1}(s_1)$ などの関数を含む。そのうちの2つは2次元非可換トーラスの場合と一致する。
• 非共形的計量におけるリッチ密度は4.2節で計算され、$F^{[2]}_{1,1,1}(s_1,s_2)$ および $F^{[3]}_{3,1,1}(s_1,s_2)$ を含む新たな関数の集合に依存することが示された。
• 導出されたリッチ曲率公式の可換極限は、可換な場合の標準的なリーマン曲率公式と一致する。
• スペクトルゼータ関数の定式化により、次元 $m > 2$ において留数抽出を用いてリッチ関数の等価な定義が得られる。
• 計算により、非可換リッチ曲率が共形でない状況においても、幾何的期待に整合し、適切に定義されていることが確認された。