[論文レビュー] The Riemann-Hilbert mapping for $\\mathfrak{sl}_2$ -systems over genus two curves

Gabriel Calsamiglia, Bertrand Deroin+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、 genus 2 のリーマン面における $σ\mathfrak{sl}_2$-系の空間から $σ\mathrm{SL}_2$-表現の特徴多様体への Riemann-Hilbert のモノドロミー写像が、2 種類の異なる解析的・幾何的アプローチを用いて局所微分同相写像であることを確立している。この結果は高 genus では成り立たず、ホロモルフィック接続とモノドロミー表現の幾何学において genus 2 が特異的な役割を果たすことを示している。

ABSTRACT

We prove in two different ways that the monodromy map from the space of irreducible $\\mathfrak{sl}_2$-differential-systems on genus two Riemann surfaces, towards the character variety of $\\mathrm{SL}_2$-representations of the fundamental group, is a local diffeomorphism. This is motivated by a question raised by \\'Etienne Ghys about Margulis' problem: existence of curves of negative Euler characteristic in compact quotients of $\\mathrm{SL}_2(\\mathbb{C})$.

研究の動機と目的

• genus 2 リーマン面における $σ\mathfrak{sl}_2$-微分系のモノドロミー写像の局所的挙動を特定すること。
• Étienne Ghys が提起した、$σ\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ のコンact商に負のオイラー標数を持つ曲線が存在するかという問題を、モノドロミー表現を用いて解決すること。
• genus 2 よりも大きい genus においてモノドロミー写像が局所微分同相写像でないことを示し、genus 2 が臨界的ケースであることを特定すること。
• ホロモルフィック $σ\mathfrak{sl}_2$-系、射影的構造、および表現のモジュライ空間の幾何学との間の関係を確立すること。

提案手法

• 各 $σ\mathfrak{sl}_2$-系に対して、そのモノドロミー表現を $σ\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-特徴多様体に割り当てる Riemann-Hilbert のモノドロミー写像 $σ\mathrm{Mon}: \mathrm{Syst}^{\text{irr}} \to \Xi^{\text{irr}}$ を構成する。
• 基本解の解析接続を用いて、$A \in \mathfrak{sl}_2(\Omega^1(X))$ の系 $A$ に関連するモノドロミー表現 $\rho_A$ を定義する。
• 2 種類の異なる手法を適用する：1 つは分岐射影的構造の変形理論とホロモルフィック族の開発写像に基づくもので、もう 1 つはユニバーサル曲線バンドルの幾何学とホロモルフィック自明化に基づくものである。
• 分岐射影的構造の開発写像が、シュワーツィアン導関数を介して有理型な二次微分形式を誘導することを活用し、それが底面の曲線に引き下がることを用いる。
• 表現の底面におけるファイブレーションの局所的ホロモルフィック自明性を活用して、局所モデルを貼り合わせて、射影的構造のグローバルなホロモルフィック変形を構成する。
• 非共軛な表現が異なるモノドロミー類を与えることと、開発写像がファイバー上で単射であることから、モノドロミー写像の単射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 2 リーマン面における $σ\mathfrak{sl}_2$-系に対して、Riemann-Hilbert のモノドロミー写像は局所微分同相写像か？
• RQ2 そのモノドロミー写像は高 genus においても局所微分同相写像のままであるか、それとも位相的要因によって失敗するか？
• RQ3 genus 2 曲線におけるホロモルフィック $σ\mathfrak{sl}_2$-系を用いて、曲線から $σ\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ のコンパクト商へのホロモルフィック写像を構成できるか？
• RQ4 シュワーツィアン導関数は、genus 2 曲線における分岐射影的構造の変形を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 系の可約な場合における、非自明なモノドロミー保存変形の存在と、対 $(X, \alpha)$ の等周期変形との関係は何か？

主な発見

• genus 2 リーマン面に対して、Riemann-Hilbert のモノドロミー写像 $σ\mathrm{Mon}: \mathrm{Syst}^{\text{irr}} \to \Xi^{\text{irr}}$ は局所微分同相写像である。
• genus $g \geq 3$ ではモノドロミー写像が局所微分同相写像でないことが示され、分岐被覆を介して genus 2 曲線からの系の引き戻しによって明示的な反例が構成された。
• モノドロミー写像が局所微分同相写像であるためには、可約性が必須である。対角型および冪零型の系は非自明な等モノドロミー変形を許容する。
• システムのモノドロミー類は、$A \mapsto MAM^{-1}$ のゲージ変換に関して不変であり、$\mathrm{Syst}$ の定義における $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ による商の正当性が保証される。
• $\mathrm{Syst}^{\text{irr}}$ および $\Xi^{\text{irr}}$ は、次元 $6g - 6$ の滑らかな複素解析的多様体であり、genus 2 では 6 である。
• 分岐射影的構造のモジュライ空間 $\mathcal{M}_k$ の点の分離性は、ホロモルフィック族におけるシュワーツィアン導関数の極限の一意性から従い、$\mathcal{M}_k$ がハウスドルフ空間であることが示される。