[論文レビュー] The Riemann Hypothesis for Symmetrised Combinations of Zeta Functions

Ross C. McPhedran, Christopher G. Poulton|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、リーマン・ゼータ関数の対称および反対称な組み合わせ、すなわち $\mathcal{T}_{+}(s)$ および $\mathcal{T}_{-}(s)$ を導入し、リーマン予想を仮定したもとで、両関数のすべての非自明な零点が臨界線 $\sigma = 1/2$ 上にあることを証明する。さらに、これらの関数の零点分布と $\zeta(2s-1)$ の間の直接的な対応関係を確立し、$t \to \infty$ のときの漸近的項において一致することを示す。結果として、テイラーの古典的業績を拡張し、対称化されたゼータ関数の組み合わせを用いたリーマン予想の新たな枠組みを提供する。

ABSTRACT

This paper studies combinations of the Riemann zeta function, based on one defined by P.R. Taylor, which was shown by him to have all its zeros on the critical line. With a rescaled complex argument, this is denoted here by ${\cal T}_-(s)$, and is considered together with a counterpart function ${\cal T}_+(s)$, symmetric rather than antisymmetric about the critical line. We prove that ${\cal T}_+(s)$ has all its zeros on the critical line, and that the zeros of both functions are all of first order. We establish a link between the zeros of ${\cal T}_-(s)$ and of ${\cal T}_+(s)$ with those of the zeros of the Riemann zeta function $ζ(2 s-1)$, which enables us to prove that, if the Riemann hypothesis holds, then the distribution function of the zeros of $ζ(2 s-1)$ agrees with those for ${\cal T}_-(s)$ and of ${\cal T}_+(s)$ in all terms which do not remain finite as $t ightarrow \infty$.

研究の動機と目的

• P.R. テイラーの1945年の反対称ゼータ関数の組み合わせに関する結果を、対称的対応関数を含む形に拡張すること。
• これらの新規関数の零点分布と、リーマン・ゼータ関数 $\zeta(2s-1)$ との関係を調査すること。
• リーマン予想を仮定したもとで、$\mathcal{T}_{+}(s)$、$\mathcal{T}_{-}(s)$、および $\zeta(2s-1)$ の零点の間の写像関係を確立すること。
• 三つの関数の零点分布関数の漸近的挙動が、$t \to \infty$ のとき発散する項において一致することを示すこと。

提案手法

• テイラーの反対称的組み合わせ $\xi_1(s+1/2) - \xi_1(s-1/2)$ のスケーリング版である $\mathcal{T}_{-}(s)$ を定義し、これは既にすべての零点が $\sigma = 1/2$ 上にあることが知られている。
• 対称的対応関数 $\mathcal{T}_{+}(s)$ を $\xi_1(s+1/2) + \xi_1(s-1/2)$ として導入し、その零点が臨界線上にあることを証明する。
• 関数を、先行研究で扱われた2次元格子和と一致させるために、変換 $s \to 2s - 1/2$ を適用する。
• 複素解析的手法、特に $\mathcal{U}(s)$ および $\mathcal{V}(s)$ 平面上での位相マッピングと等高線追跡を用い、零点の位置と位相ジャンプ、単位円へのマッピングの関係を明らかにする。
• 位相変化と単調な位相変化を用いて、臨界線上の $\mathcal{V}(s)$ の極と $\mathcal{U}(s)$ の零点の間の一対一対応関係を確立する。
• ボール・ランダウの定理と $\arg[\xi_1(1+2it)]$ に関する既知の結果を活用し、位相が無限に多くの回数、すべての実数値を通過することを示し、零点分布マッピングを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・ゼータ関数の対称的組み合わせ、例えば $\mathcal{T}_{+}(s)$ は、すべての非自明な零点を臨界線 $\sigma = 1/2$ 上に持つか。
• RQ2 リーマン予想を仮定したもとで、$\mathcal{T}_{+}(s)$、$\mathcal{T}_{-}(s)$、および $\zeta(2s-1)$ の零点分布間に直接的な対応関係が存在するか。
• RQ3 $\mathcal{T}_{+}(s)$ および $\mathcal{T}_{-}(s)$ の零点分布関数の漸近的挙動が、$t \to \infty$ のとき発散する項において $\zeta(2s-1)$ と一致することを示せるか。
• RQ4 $\mathcal{U}(s)$ および $\mathcal{V}(s)$ の位相マッピングは、複素平面上の零点および極の位置と順序とどのように関係するか。

主な発見

• $\mathcal{T}_{+}(s)$ は、対称的組み合わせ $\xi_1(s+1/2) + \xi_1(s-1/2)$ として定義され、そのすべての非自明な零点が臨界線 $\sigma = 1/2$ 上にある。
• 位相変化および等高線マッピングの議論により、$\mathcal{T}_{+}(s)$ および $\mathcal{T}_{-}(s)$ の両方の関数がすべての零点を1次であることが確認された。
• 臨界線上の $\mathcal{V}(s)$ の極で囲まれる区間と $\mathcal{U}(s)$ の零点の間の一対一対応関係が確立され、各零点が $2\pi$ の位相変化に対応する。
• リーマン予想を仮定したもとで、$\mathcal{T}_{+}(s)$、$\mathcal{T}_{-}(s)$、$\zeta(2s-1)$ の零点分布関数は、$t \to \infty$ のとき発散するすべての項において一致する。これは、共通の漸近的挙動に起因する。
• $\mathcal{V}(s)$ と $\mathcal{U}(s)$ の間の写像は一対一であり、単一の零点を囲む等高線に沿って位相変化が $2\pi$ であるため、1次零点の挙動が確認された。
• 解析により、$\mathcal{T}_{+}(s)$ および $\mathcal{T}_{-}(s)$ の零点が臨界線上にあるだけでなく、$\zeta(2s-1)$ と同様に、発散項を除いて同じ漸近的密度および分布パターンを持つことが確認された。