[論文レビュー] The Riemann Magneton of the Primes

Danilo Merlini|ArXiv.org|Apr 12, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リーマン・ゼータ関数に関連する関数 m(r) を導入し、r = 1 および r = 0 におけるその導関数の不連続性を分析している。それぞれの正確な値は 4π および (−4 + γ + 3ln2 + π/2)π である。m(r) が r = 1/2 まで有効であることは、リーマン予想と同値である。リーマン予想の下で、m(1/2) = 0 かつ m′(1/2) = π(1 + γ) ≈ 4.95 であり、電場のジャンプがリウヴィルの第一係数と関連し、リーマン予想に対する新たな証拠を提供する。

ABSTRACT

We present a calculation involving a function related to the Riemann Zeta function and suggested by two recent works concerning the Riemann Hypothesis: one by Balazard, Saias and Yor and the other by Volchkov. We define an integral m (r) involving the Zeta function in the complex variable s = r + it and find a particurarly interesting expression for m(r) which is rigorous at least in some range of r. In such a range we find that there are two discontinuities of the derivative m'(r) at r = 1 and r = 0, which we calculate exactly. The jump at r = 1 is given by 4*Pi, while that at r = 0 is given by (-4 + gamma + 3*log(2) + Pi/2)*Pi. The validity of the expression for m(r) up to r = 1/2 is equivalent to the truth of the Riemann Hypothesis (RH). Assuming RH the expression for m(r) gives m = 0 at r = 1/2 and the slope m'(r) = Pi*(1 + gamma) = 4.95 at r = 1/2 (where gamma = 0.577215... is the Euler constant). As a consequence, if the expression for m(r) can be continued up to r = 1/2, then if we interpret m(r) as the effective potential of a charged filament, in the presence of the unit charges located at all the zeros (trivial and non trivial zeros) and at the pole in one of the Riemann Zeta function then there is a jump of the electric field E(r) = m'(r) at r = 1/2 given by 2*Pi times the first Li's coefficient lambda_1 = [1+gamma/2-(1/2)ln(4*Pi)] = 0.0230957. We then construct a potential well (a symmetric function around x = r+1/2 = 1) which is exact if the RH is true. Independently of the RH, by looking at the behaviour of the convergent Taylor expansion of m(r) at r = 1-, the value m(r = 1/2+) as well as the first Li's coefficient may be evaluated using the Euler product formula. We give in this way further evidence for the possible truth of the Riemann Hypothesis.

研究の動機と目的

• 複素平面上のリーマン・ゼータ関数を含む新しい積分関数 m(r) を調査すること。
• 導関数 m′(r) を分析し、r = 1 および r = 0 における不連続性を特定すること。
• m(r) が r = 1/2 まで有効であることは、リーマン予想の真偽と同値であることを確立すること。
• m(r) を、すべてのゼータ関数の非自明零点および極に単位電荷を持つ帯電フィラメントの有効ポテンシャルとしてモデル化し、r = 1/2 における電場ジャンプを導出すること。
• オイラー積とテイラー展開を用いて、リーマン予想に依存せずに m(r=1/2+) およびリウヴィルの第一係数を評価し、リーマン予想をさらに支持する証拠を提供すること。

提案手法

• s = r + it を用いて、リーマン・ゼータ関数 ζ(s) を含む積分として m(r) を定義する。
• m′(r) を計算し、解析接続および留数解析を用いて、r = 1 および r = 0 における正確な不連続性を特定する。
• m(r) の式が r = 1/2 まで有効であることは、リーマン予想が成り立つ場合に限ることを確立する。
• m(r) を、すべての非自明零点および自明零点、および ζ(s) の極に単位電荷を持つ帯電フィラメントのポテンシャルとしてモデル化し、m′(r) を電場 E(r) と解釈する。
• オイラー積の公式を用いて、r = 1− における収束するテイラー展開に基づき、m(r=1/2+) および第一リウヴィル係数 λ₁ をリーマン予想に依存せずに評価する。
• r = 1/2 = 1 の周囲に、リーマン予想の仮定の下で正確な対称的ポテンシャル井戸を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r = 1 および r = 0 における導関数 m′(r) の不連続性の正確な値は何か？
• RQ2 m(r) が r = 1/2 まで有効であることは、リーマン予想とどのように関係しているか？
• RQ3 リーマン予想の仮定の下で、m(1/2) および m′(1/2) の値は何か？
• RQ4 r = 1/2 における電場ジャンプは、リウヴィルの第一係数 λ₁ とどのように関連しているか？
• RQ5 オイラー積および r = 1− におけるテイラー展開を用いて、リーマン予想に依存せずに m(r=1/2+) および λ₁ を評価できるか？

主な発見

• r = 1 における m′(r) のジャンプは正確に 4π である。
• r = 0 における m′(r) のジャンプは正確に (−4 + γ + 3ln2 + π/2)π である。ここで γ はオイラー・マスケローニ定数である。
• m(r) の式が r = 1/2 まで有効であることは、リーマン予想の真偽と同値である。
• リーマン予想の下で、m(1/2) = 0 かつ m′(1/2) = π(1 + γ) ≈ 4.95 である。
• r = 1/2 における電場ジャンプは、第一リウヴィル係数 λ₁ = 1 + γ/2 − (1/2)ln(4π) ≈ 0.0230957 の 2π 倍である。
• オイラー積および r = 1− におけるテイラー展開を用いることで、m(r=1/2+) および λ₁ をリーマン予想に依存せずに評価でき、これによりリーマン予想の真実性をさらに支持する証拠が得られる。