[論文レビュー] The Riemann Zeta-Function and Hecke Congruence Subgroups. II

Yoichi Motohashi|ArXiv.org|Sep 17, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、平方自由整数上に台を持つ有限ディリクレ級数 $ A(s) $ を用いた重み付き平均値 $ M_2(g;A) = \int_{-\infty}^{\infty} |\zeta(1/2 + it)|^4 |A(1/2 + it)|^2 g(t) dt $ の厳密なスペクトル分解を提供する。関連するメリン変換 $ Z_2(s;A) $ が $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 上に無限個の単純極を有することを確立し、リーマンゼータ関数の第六モーメント $ Z_3(s;1) $ が臨界線を自然境界として持つという予想に対する明確な証拠を提示する。

ABSTRACT

This is a rework of our old file, which has been left unpublished since September 1994, on an explicit spectral decomposition of the fourth power moment of the Riemann zeta-function against a weight which is the square of a Dirichlet polynomial. At this occasion we add an explicit treatment of generalized Kloosterman sums associated with arbitrary Hecke congruence subgroups (Section 15), which might have an independent interest. At the end (Section 36) of our discussion, we set out a few problems on the distribution of eigenvalues of the hyperbolic Laplacian, which appear to us to be related to the nature of the sixth power moment of the Riemann zeta-function. The contents of this work were presented in a worshop at RIMS Kyoto University on October 18, 2007. In this second version, some corrections are made in the part on generalized Kloosterman sums, and in Addendum a mention is made concerning a recent work by C.P. Hughes and M.P. Young (0709.2345).

研究の動機と目的

• 以前の研究で部分的にしか取り扱われていなかった、$ Z_2(s;A) = \int_1^{\infty} |\zeta(1/2+it)|^4 |A(1/2+it)|^2 t^{-s} dt $ のメリン変換に対する厳密な取り扱いを提供すること。
• リーマンゼータ関数の性質に基づく明示的手法を用いて、重み $ A(s) $ を持つ第四モーメントのスペクトル分解を調査すること。
• 第四モーメントと第六モーメントの間にある中間の量である $ Z_2(s;A) $ の分析を通じて、第六モーメント $ M_3(g;1) $ を理解するための基盤を築くこと。
• $ Z_2(s;A) $ が $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 上に無限個の単純極を有することを示し、$ Z_3(s;1) $ が臨界線を自然境界として持つ可能性を示唆すること。
• $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ のスペクトル理論に関する今後の研究を促進し、第六モーメントが $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ の実ランク 2 構造と関連することを示唆すること。

提案手法

• 公式 $ M_2(g;A) = \sum_{a,b,c\atop{(a,b)=1}} \frac{\alpha_{ac} \overline{\alpha_{bc}}}{c\sqrt{ab}} I_2(g;b/a) $ を用いて、$ M_2(g;A) $ の明示的スペクトル分解を導出する。ここで $ I_2 $ はゼータ関数の四乗を含む。
• 多変数積分 $ I(u,v,w,z;g;b/a) = -i \int_{(0)} \zeta(u+t)\zeta(v-t)\zeta(w+t)\zeta(z-t) (b/a)^t g(-it) dt $ を導入し、これは $ \mathbb{C}^4 $ 上にメロモーレックである。コーシーの積分路のずれを用いてその解析接続を導出する。
• 近似関数等式を適用して、$ |\zeta(1/2+it)|^2 $ を $ c,d $ に関する有限和として表現し、平均値をスペクトル項と非スペクトル項に分解する。
• 正規化された自動形式の和を $ \Gamma_0(cd) $ 上で分析し、スペクトル測度 $ \frac{h(\kappa_j)}{\cosh \pi \kappa_j} $ とイーゼンスタイン級数 $ R_j(1/2,0) $ を用いる。
• 停留位相法と積分路の変形を用いて非スペクトル項 $ \mathcal{H}_a $ の評価を行い、$ a=5,6,7 $ の場合にこれらが無視可能であることを示す。
• 公式 $ \mathcal{D}_3^3(u,v;h) $ とコーシーの積分公式を用いて、$ \mathcal{H}_7 $ が無視可能であることを示し、主要な漸近展開を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き第四モーメント $ |\zeta(1/2+it)|^4 |A(1/2+it)|^2 $ のメリン変換 $ Z_2(s;A) $ は、臨界線 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 上に極を有するか？
• RQ2 $ M_2(g;A) $ のスペクトル分解は、第六モーメントのメリン変換 $ Z_3(s;1) $ が臨界線を自然境界として持つという証拠を提供できるか？
• RQ3 スペクトルパラメータ $ \kappa $ の集合で、$ \kappa^2 + 1/4 \in \mathrm{Sp}(\Gamma_0(cd)) $ を満たすものが正の実軸上で稠密か？
• RQ4 $ Z_2(s;A) $ の解析に用いられた手法を、$ Z_3(s;1) $ の低エネルギー極（特に $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 近辺）を検出するために拡張可能か？
• RQ5 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ のスペクトル構造は、ゼータ関数の第六モーメントの予想される二重積分構造とどのように関連するか？

主な発見

• $ \alpha_n $ が平方自由整数上に台を持ち、$ \alpha_n > 0 $ である限り、メリン変換 $ Z_2(s;A) $ は臨界線 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ 上に無限個の単純極を有する。
• スペクトル和 $ \sum_{\kappa} \mathcal{R}(\kappa;A) \frac{h(\kappa)}{\cosh \pi \kappa} \sim \frac{8}{3\pi^{3/2}} G K^3 (\log K)^3 \sum_{c,d} \mathcal{A}(c,d) \prod_{p|c} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) $ が成り立ち、ここで $ \mathcal{A}(c,d) $ は $ A $ のフーリエ係数によって定義される。
• 非スペクトル項 $ \mathcal{H}_5, \mathcal{H}_6, \mathcal{H}_7 $ の平均値への寄与は $ \ll K^{7/2} (\log K)^7 $ であり、主項の $ K^3 (\log K)^3 $ に比べて無視可能である。
• スペクトル和は $ G K^3 (\log K)^3 \prod_{p|c} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) $ に漸近的に比例する。ここで $ G $ は重み $ g $ とレベル $ cd $ に依存する定数である。
• この結果は、$ Z_3(s;1) = \int_1^{\infty} |\zeta(1/2+it)|^6 t^{-s} dt $ が臨界線 $ \mathrm{Re}\,s = 1/2 $ を自然境界として持つという点で、最初の明示的証拠を提供する。
• この手法は、第六モーメントが $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ の実ランク 2 構造を反映する二重積分として表現可能であるはずであると示唆し、$ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ に由来する第四モーメントの単一積分構造との類似性を示している。