[論文レビュー] The Riemann-zeta function on vertical arithmetic progressions

Xiannan Li, Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、垂直な等差数列 $\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)$ におけるリーマン・ゼータ関数の2次モーメントが、$\mathbb{R}$ 上の連続平均と漸近的に一致することを確立している。その際、$\alpha$ のディオファントス的性質に依存する補正係数 $\delta(\alpha,\beta)$ が現れる。重要なかぎり、モリファイアでねじれた場合、この依存関係は消え、等差数列上での強い零点密度および極値に関する結果が得られる。

ABSTRACT

We show that the twisted second moments of the Riemann zeta function averaged over the arithmetic progression $1/2 + i(an + b)$ with $a > 0$, $b$ real, exhibits a remarkable correspondance with the analogous continuous average and derive several consequences. For example, motivated by the linear independence conjecture, we show at least one third of the elements in the arithmetic progression $a n + b$ are not the ordinates of some zero of $ζ(s)$ lying on the critical line. This improves on earlier work of Martin and Ng. We then complement this result by producing large and small values of $ζ(s)$ on arithmetic progressions which are of the same quality as the best $Ω$ results currently known for $ζ(1/2 + it)$ with $t$ real.

研究の動機と目的

• 垂直な等差数列に沿った $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ の値の分布を理解すること。
• このような列における $\zeta(s)$ の2次モーメントが、$\mathbb{R}$ 上の連続平均から著しく異なるかどうかを特定すること。
• 特にモリファイアを含むディリクレ多項式のねじれが、連続的な $t \in \mathbb{R}$ におけるそれと同様に、離散的な等差数列上でも同様に振る舞うかどうかを調査すること。
• これらの結果を線形独立性予想に応用し、特に臨界線上に存在するゼロとなる可能性のある点の割合を制限すること。

提案手法

• 近似関数等式とヴォロノイの和公式を用いて、等差数列上での $\zeta(s)$ の2次モーメントを分析する。
• $e^{2\pi\ell/\alpha}$ が有理数か無理数かに応じて、$\delta(\alpha, \beta)$ という補正係数を導入し、ディオファントス的性質を捉える。
• $[T, 2T]$ のdyadic区間上での和を局所化するために、滑らかな重み関数 $\phi(\ell/T)$ を用いる。
• モリファイア $M_\theta(s)$ を用いて振動を抑えてキャンセルを実現し、2次モーメントの主要項を連続積分と一致させる。
• 除数和および指数和の評価を用いて誤差項を推定し、条件 $|a_\ell/b_\ell - e^{2\pi\ell/\alpha}| \leq e^{2\pi\ell/\alpha}/T^{1-\eta}$ を活用する。
• 数論的条件 $ha_\ell \mid kb_\ell m$ を用いて $m,n$ の二重和を単一和に還元し、ゼータ関数の恒等式を用いて推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等差数列 $\ell \in [T, 2T]$ 上での $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ の2次モーメントは、連続積分 $\int_T^{2T} |\zeta(\frac{1}{2} + it)|^2 dt$ と著しく異なるか？
• RQ2 $\alpha$ および $\beta$ のディオファントス的性質が2次モーメントに与える影響は何か？ これは $\delta(\alpha, \beta)$ を用いて定量的に表現可能か？
• RQ3 モリファイド2次モーメント $\sum |\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)) M_\theta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))|^2$ は、$\alpha, \beta$ が悪い近似を持つ場合でも、連続平均を近似し続けるか？
• RQ4 等差数列上での $\zeta(s)$ の振る舞いを用いて、$\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)$ の正の割合の点が $\zeta(s)$ のゼロでないことを排除できるか？
• RQ5 実数 $t$ に対する $\zeta(\frac{1}{2} + it)$ と比較して、$\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ の極値は同程度の大きさか？

主な発見

• 等差数列 $\ell \in [T, 2T]$ 上での $\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ の2次モーメントは、$\sum_{\ell} |\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))|^2 \phi(\ell/T) = \left(1 + \delta(\alpha, \beta) + o(1)\right) \int_{\mathbb{R}} |\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha t + \beta))|^2 \phi(t/T) dt$ を満たす。ここで $\delta(\alpha, \beta)$ はディオファントス的依存性を捉える。
• モリファイア $M_\theta(s)$ でねじった2次モーメント $\mathcal{J}$ は、$\mathcal{J} = \int_{\mathbb{R}} |(\zeta M_\theta)(\frac{1}{2} + i(\alpha t + \beta))|^2 \phi(t/T) dt + O\left(\frac{T}{(\log T)^{1-\varepsilon}}\right)$ を満たし、$\delta(\alpha, \beta)$ に依存しない。
• 臨界線上に存在する点 $\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta)$ の少なくとも1/3は $\zeta(s)$ のゼロではない。これは Martin と Ng の結果を改善する。
• 実数 $t$ に対して既知の最良結果と同等の $\Omega$-順序に達する、$\zeta(\frac{1}{2} + i(\alpha\ell + \beta))$ の大きな値および小さな値を構成した。これにより、等差数列上でも極値的挙動が保存されていることが確認された。
• $\delta(\alpha, \beta)$ は、すべての $\ell > 0$ に対して $e^{2\pi\ell/\alpha}$ が無理数であれば0であり、さもなければ、最小の $m/n \neq 1$ に対して $\cos(\beta \log(m/n))$ の有理関数である。
• モリファイドモーメントの誤差項は $O\left(\frac{T}{(\log T)^{1-\varepsilon}}\right)$ であり、これはほぼ最適であり、零点のない領域や値分布への強い応用が可能である。