[論文レビュー] The Riesz transform of codimension smaller than one and the Wolff energy

Benjamin Jaye, Fëdor Nazarov+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$s \in (d-1,d)$ のとき、$\mathbb{R}^d$ 内の非負で局所的に有限かつ非原子的なボレル測度 $\mu$ に対して、$s$-リーマン変換が $L^2(\mu)$ で有界であるための特徴付けを、すべての立方体 $Q$ に対して $\mathcal{W}_2(\mu,Q) \leq \widetilde{C}\mu(Q)$ が成り立つという一様なウォルフエネルギーの制御と同値であることを示すことによって確立する。この結果は、マテウ＝プラット＝ヴェルデラの定理をより高い余次元へ拡張し、$\alpha \in (1,2)$ のときの分数ラプラシアン $(-\Delta)^{\alpha/2}$ の局所リーマンス解に対する除去可能集合のメトリック的特徴付けを提供する。これは、調和関数に対する古典的な除去可能性と対照的である。

ABSTRACT

Fix $d\geq 2$, and $s\in (d-1,d)$. We characterize the non-negative locally finite non-atomic Borel measures $μ$ in $\mathbb{R}^d$ for which the associated $s$-Riesz transform is bounded in $L^2(μ)$ in terms of the Wolff energy. This extends the range of $s$ in which the Mateu-Prat-Verdera characterization of measures with bounded $s$-Riesz transform is known. As an application, we give a metric characterization of the removable sets for locally Lipschitz continuous solutions of the fractional Laplacian operator $(-Δ)^{α/2}$, $α\in (1,2)$, in terms of a well-known capacity from non-linear potential theory. This result contrasts sharply with removability results for Lipschitz harmonic functions.

研究の動機と目的

• $d \geq 2$ のとき、$s \in (0,1)$ に対して成立するマテウ＝プラット＝ヴェルデラによる $s$-リーマン変換の有界性の特徴付けを、$s \in (d-1,d)$ へ拡張すること。
• すべての立方体 $Q$ に対して $\mathcal{W}_2(\mu,Q) \leq \widetilde{C}\mu(Q)$ が成り立つというウォルフエネルギー条件を用いて、$L^2(\mu)$-有界性の必要十分条件を確立すること。
• この特徴付けを応用し、$\alpha \in (1,2)$ のときの分数ラプラシアン $(-\Delta)^{\alpha/2}$ の局所リーマンス解に対する除去可能集合のメトリック的記述を提供すること。非線形ポテンシャル理論からの容量を用いる。

提案手法

• 証明は、特に dyadic クローズ内の密度低下に注目した、リーマン変換の振る舞いの精密な解析、エネルギー推定および吹き上がり技法に依拠している。
• 重要なステップとして、測度密度が顕著に低下する立方体の周囲に「シェル」を構成し、その領域でのエネルギー推定を改善すること。
• 修正された Calderón-Zygmund 分解と変分的議論を用いて、切断されたリーマン変換の $L^2$ ノルムを制御する。
• 滑らか化作用素とシェル周辺の局所化を用いて一様な境界を得る。最大原理と $\alpha$-ポisson核の性質を活用する。
• 矛盾による証明法を用いる：ウォルフエネルギー条件が成立しないと仮定すると、リーマン変換の $L^2(\mu)$-有界性と矛盾が生じる。
• ポテンシャル理論の技術、特に反射的測度とウォルフエネルギーの非線形正値汎関数としての構造の使用を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $s \in (d-1,d)$ のとき、$L^2(\mu)$ 上での $s$-リーマン変換の有界性は、すべての立方体 $Q$ に対して $\mathcal{W}_2(\mu,Q) \leq \widetilde{C}\mu(Q)$ が成り立つというウォルフエネルギー条件と同値であるか？
• RQ2 元々 $s \in (0,1)$ に対して有効であったマテウ＝プラット＝ヴェルデラの特徴付けは、$s \in (d-1,d)$ の範囲へ拡張可能か？
• RQ3 $\alpha \in (1,2)$ のとき、分数ラプラシアン $(-\Delta)^{\alpha/2}$ の局所リーマンス解に対する除去可能集合のメトリック的特徴付けは何か？
• RQ4 $s \in (d-1,d)$ の範囲では、$s$-リーマン変換が有界である測度の構造は、$s \in (0,1)$ の場合とどのように異なるか？
• RQ5 非整数 $s$ のとき、ウォルフエネルギーはリーマン核のキャンセル構造をどのように捉えているか？

主な発見

• $s \in (d-1,d)$ のとき、$s$-リーマン変換が $L^2(\mu)$ で有界であることは、すべての立方体 $Q \subset \mathbb{R}^d$ に対して $\mathcal{W}_2(\mu,Q) \leq \widetilde{C}\mu(Q)$ が成り立つことと同値である。
• 特徴付けの「十分」の部分は、$s \in (0,d)$ のすべての値（整数でなくとも）に対して成り立ち、標準的なエネルギー推定の議論によって示される。
• 「必要」の部分は、適切に選ばれた dyadic シェル内での密度低下を伴う吹き上がり議論によって証明され、ウォルフエネルギー条件が成立しないと仮定すると矛盾が生じる。
• この結果から、コンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^d$ が $(-\Delta)^{\alpha/2}u = 0$ の局所リーマンス解に対して除去可能であることは、$s = d - \alpha$ として $\gamma_s(E) = 0$ であることと同値であり、この容量はウォルフエネルギーによって定義される。
• この論文は、リーマンス調和関数に対する古典的な除去可能性理論が、分数ラプラシアンの設定へは拡張されないことを示しており、除去可能性の条件が根本的に異なることを示している。
• 著者らは、$s \in (d-1,d)$ のとき、任意の測度 $\mu$ について $\mathcal{H}^s(\operatorname{supp}(\mu)) < \infty$ かつ $s$-リーマン変換が有界ならば、$\mu$ はゼロ測度でなければならないことを示している。これは、分野における以前の結果を強化するものである。