[論文レビュー] The rigid body dynamics: classical and algebro-geometric integration

Borislav Gajić|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3次元および4次元の可積分系としてのヘス＝アペルロート系およびラグランジュ二スピン系を対象とし、古典的および代数幾何的積分法を用いた剛体運動の包括的考察を提示する。これらの系に対してLax表現を確立し、スペクトル曲線上でのバーグァー＝アキエツェル関数に基づく代数幾何的積分手順を適用することで、theta関数を用いた完全解が得られ、キルヒホッフおよびチャプリン系の4次元一般化がリウヴィル的完全可積分性を示すことを証明する。

ABSTRACT

The basic notion for a motion of a heavy rigid body fixed at a point in three-dimensional space as well as its higher-dimensional generalizations are presented. On a basis of Lax representation, the algebro-geometric integration procedure for one of the classical cases of motion of three-dimensional rigid body - the Hess-Appel'rot system is given. The classical integration in Hess coordinates is presented also. For higher-dimensional generalizations, the special attention is paid in dimension four. The L-A pairs and the classical integration procedures for completely integrable four-dimensional rigid body so called the Lagrange bitop as well as for four-dimensional generalization of Hess-Appel'rot system are given. An $n$-dimensional generalization of the Hess-Appel'rot system is also presented and its Lax representation is given. Starting from another Lax representation for the Hess-Appel'rot system, a family of dynamical systems on $e(3)$ is constructed. For five cases from the family, the classical and algebro-geometric integration procedures are presented. The four-dimensional generalizations for the Kirchhoff and the Chaplygin cases of motion of rigid body in ideal fluid are defined. The results presented in the paper are part of results obtained in last decade.

研究の動機と目的

• 剛体運動の古典的可積分性結果を、特に4次元系にまで拡張すること。
• 4次元におけるヘス＝アペルロート系およびラグランジュ二スピン系といった可積分系に対してLax表現を確立すること。
• スペクトル曲線上でのバーグァー＝アキエツェル関数に基づく代数幾何的積分手順を用いて、これらの系を完全に解くこと。
• 理想流体内の剛体運動のキルヒホッフおよびチャプリン系を4次元に一般化し、その可積分性を証明すること。
• Lax表現およびスペクトル曲線解析を通じて、古典的および代数幾何的積分技法を統合すること。

提案手法

• スペクトルパラメータ $ \lambda $ を用いたLax表現 $ \frac{d}{dt}L(\lambda) = [L(\lambda), A(\lambda)] $ を用い、$ L(\lambda) $ の固有値の不変性から第一積分を導出する。
• バーグァー＝アキエツェル関数に基づく代数幾何的積分手順を適用する。この関数は、マークされた点における本質的特異点を持つスペクトル曲線 $ \Gamma $ 上にメロモルフィックに定義される。
• 4次元ラグランジュ二スピン系およびヘス＝アペルロート系のL-Aペアを構成し、そのスペクトル曲線を導出し、種数および対称性を解析する。
• 古典的ヘス＝アペルロート系に対して代替的なLax表現を導入し、$ e(3) $ 上に新たな可積分系の族を構成する。
• $ e(4) $ 上に4次元キルヒホッフおよびチャプリン系の一般化を定義し、それらのハミルトニアン構造および第一積分を特定する。
• 4つの独立で可換な第一積分（2つは線形、2つは二次）を構成することで、完全可積分性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元における古典的ヘス＝アペルロート系は、Lax表現を介した代数幾何的手法により、どのように完全に積分可能となるか？
• RQ2 4次元一般化されたラグランジュ二スピン系およびヘス＝アペルロート系のLax表現およびスペクトル曲線は何か？
• RQ3 理想流体内のキルヒホッフおよびチャプリン系の剛体運動は、4次元に一般化可能であり、その可積分性を保つことができるか？
• RQ4 Laxペアに関連するスペクトル問題を解く際、バーグァー＝アキエツェル関数はどのように機能するか？
• RQ5 代替的なLax表現は、$ e(3) $ 上にどのような新たな可積分系の族を生成し、それらの古典的および代数幾何的積分手順は何か？

主な発見

• 古典的ヘス＝アペルロート系は、種数3のスペクトル曲線 $ \mathcal{C} $ を持つLax表現を有し、自己同型 $ \sigma:(\lambda_1, \mu) \mapsto (-\lambda_1, \mu) $ の下で、種数1の曲線 $ \mathcal{C}_1 $ に簡約される。
• 4次元ラグランジュ二スピン系は、種数3のスペクトル曲線を有し、完全可積分であり、バーグァー＝アキエツェル関数を用いた代数幾何的積分によって解が得られる。
• 4次元キルヒホッフ系はリウヴィル的完全可積分であり、4つの独立な第一積分（$ M_{12}, M_{34} $ の2つは線形、$ F_5 $ を含む非自明な二次積分）を有する。
• 4次元チャプリン系は、$ M_{ij} $ と $ \Gamma_k $ の混合項を含むハミルトニアンで定義され、$ M_{12} $ および $ M_{34} $ の不変性を保ち、可積分性が確認される。
• 古典的ヘス＝アペルロート系に対して代替的なLax表現を導入することで、$ e(3) $ 上に5つの可積分系の族が生成され、それぞれが古典的および代数幾何的積分を有する。
• $ n $ 次元におけるヘス＝アペルロート系の一般化が、対応するLax表現とともに構成され、任意次元への可積分性フレームワークの拡張がなされた。