[論文レビュー] The ring of arithmetical functions with unitary convolution: Divisorial and topological properties

Jan Snellman|ArXiv.org|Jan 10, 2002

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単位的畳み込みに関する算術関数の環と、可算個の変数上のべき級数環の商との間の同型を確立し、自然なノルムを用いてその環に位相を入れ、すべてのイデアルが準有限であることを証明する。原子的性、有界な因数分解長、豊富な正則非単元の存在を示し、平方自由整数に台を持つ関数の部分環がリトラクトであり、単項式商環と同型であることを示す。

ABSTRACT

We study the ring of arithmetical functions with unitary convolution, giving an isomorphism to a generalized power series ring on infinitely many variables, similar to the isomorphism of Cashwell-Everett between the ring of arithmetical functions with Dirichlet convolution and the power series ring on countably many variables. We topologize it with respect to a natural norm, and shove that all ideals are quasi-finite. Some elementary results on factorization into atoms are obtained. We prove the existence of an abundance of non-associate regular non-units.

研究の動機と目的

• 単位的畳み込みに関する算術関数の環の代数的および位相的構造を調査すること。
• この環と無限個の変数に関する一般化されたべき級数環との間の同型を確立すること。
• 自然なノルムを用いて環に位相を入れ、すべてのイデアルが準有限であることを証明すること。
• 因数分解の性質を分析し、特に有界な因数分解長と正則非単元の存在を調べること。
• 平方自由整数に台を持つ関数の部分環がリトラクトであり、単項式商環と同型であることを示すこと。

提案手法

• 単位的畳み込みを、$ f \oplus g(n) = \sum_{d \lvert\lvert n} f(d)g(n/d) $ で定義する。ここで $ d \lvert\lvert n $ は $ d $ が $ n $ の単位的因子であることを意味する。
• $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ と $ \mathbb{C}[[x_1, x_2, \dots]] / J $ の間に同型を構成する。ここで $ J $ は平方自由でない単項式の生成するイデアルである。
• ノルム $ |f| = 1 / \min\{k : f(k) \neq 0\} $ を導入し、$ (\mathcal{A}, |\cdot|) $ がノルム環であることを示す。
• 環 $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ のすべてのイデアルが準有限であることを証明する。すなわち、$ |e_k| \to 0 $ を満たす列 $ (e_k) $ が存在し、任意の元が収束級数 $ \sum c_k e_k $ として表せることを示す。
• 素因数分解の構造を用いて、各 $ e_n $ が一意に $ e_{p^a} $ の単位的積として表せることを示し、単項式同型を可能にする。
• 平方自由整数に台を持つ関数の部分環 $ \mathfrak{C} $ が、$ \mathbb{C} $-部分代数として閉じており、射影写像 $ p(f) $ を用いたリトラクトであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的畳み込みに関する算術関数の環は、可算個の変数上のべき級数環の商と同型であるか？
• RQ2 この環に自然なノルムを導入した場合、すべてのイデアルが準有限であるか？
• RQ3 任意の元について、原子への因数分解の長さが有界であるか？
• RQ4 この環に豊富な正則非単元が存在するか？
• RQ5 平方自由整数に台を持つ関数の部分環は、単位的畳み込みに関して、全環のリトラクトであるか？

主な発見

• 環 $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ は、$ J $ を平方自由でない単項式の生成するイデアルとするとき、$ \mathbb{C}[[x_1, x_2, \dots]] / J $ と同型である。
• 与えられたノルムの下で、環 $ (\mathcal{A}, +, \oplus) $ のすべてのイデアルが準有限である。
• この環は原子的であり、すべての元について因数分解長が有界である。
• 正則非単元が豊富に存在し、この環は半因子的でも、有限因数分解でも、弱有限因数分解でも、原子的idf環でもない。
• 平方自由整数に台を持つ関数の部分環 $ \mathfrak{C} $ は、$ \mathcal{A} $ のリトラクトであり、$ \mathfrak{C} \simeq \mathbb{C}[[x_1, x_2, \dots]] / J $ が成り立つ。
• 任意の $ \mathfrak{C} $ 内の単元の乗法的逆元は $ \mathfrak{C} $ 内にあり、$ \mathfrak{C} $ は唯一の非単元の極大イデアルを持つ半局所環である。