[論文レビュー] The Ring of Graph Invariants - Graphic Values

Tomi Mikkonen|ArXiv.org|Dec 3, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフ不変量の環を研究するために $G$-poset を導入し、部分グラフ数え上げ不変量とその代数的依存関係に焦点を当てる。小さな $G$-poset から導かれる不等式を用いて、弱いおよび強い「グラフ的値」の概念を定義し、制限付き条件下で不変量からのグラフ再構成が NP 完全であることを証明するとともに、調整可能な次元における整数多面体問題としてラマージュ数を定式化する。

ABSTRACT

The ring of graph invariants is spanned by the basic graph invariants which calculate the number of subgraphs isomorphic to a given graph in other graphs. These subgraphs counting invariants are not algebraically independent. In our view the most important problem in graph theory of unlabeled graphs is the problem of determining graphic values of arbitrary sets of graph invariants. This corresponds to explaining the syzygy of the graph invariants when the number of vertices is unbounded. We introduce two methods to explore this complicated structure. Sets of graphs with a small number of vertices impose constraints on larger sets. We describe families of inequalities of graph invariants. These inequalities allow to loop over all values of graph invariants which look like graphic from the small sets point of view. We also develop strong notion of graphic values where the existence of the corresponding graphs is guaranteed once the constraints are satisfied by the basic graph invariants. These constraints are necessary and sufficient for graphs whose local neighborhoods are generated by a finite set of locally connected graphs. The reconstruction of the graph from the basic graph invariants is shown to be NP-complete in this restricted case. Finally we apply these results to formulate the problem of Ramsey numbers as an integer polyhedron problem of moderate and adjustable dimension.

研究の動機と目的

• 不変量のサイジィや依存関係を分析することで、グラフ不変量の代数的構造を理解すること。
• 実際に存在するグラフに対応する不変量の組み合わせ、すなわち「グラフ的値」を特定する根本的問題に取り組むこと。
• 小さな $G$-poset によって得られる可能性（弱いグラフ的値）と、制約によって保証される存在性（強いグラフ的値）を区別するフレームワークを構築すること。
• グラフ不変量とラマージュ理論を結びつけるために、ラマージュ数の問題を整数プログラミング問題に再定式化すること。
• 基本的不変量からグラフを再構成する際の計算複雑性を調査し、特定の制限条件下でそれが NP 完全であることを示すこと。

提案手法

• $\mathcal{E}(n)$ としての $G$-poset を用いて、与えられたグラフに同型な部分グラフの数え上げ不変量を整理する。
• $E$-変換行列 $E = (e_{ij}) = I(g_j)(g_i)$ を用いて、グラフ間の部分グラフ数を符号化する。
• 逆行列 $B = E^{-1}$ を適用して不変量間の線形関係を導出し、サイジィの計算を可能にする。
• 小さな $G$-poset（$\mathcal{E}(4)$、$\mathcal{E}(5)$）から導かれる不等式の族を用いて、弱いグラフ的値を定義する。
• 局所的に有限な近傍構造を持つグラフに対して、必要十分な制約を用いて強いグラフ的値を定義する。
• パワーサム $\sigma_e^v$ を用いて不変量をパラメータ化することで、ラマージュ数の問題を整数多面体問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラマージュ数 $r(k)$ の上界を証明するために必要な最小の $G$-poset $\mathcal{E}(r)$ は何か？
• RQ2 局所パラメータ $z(i)$、$z(i_1,i_2)$ などの強化は、$r(4)$ や $r(5)$ の計算における制約を強化できるか？
• RQ3 再構成定理と $G$-poset の制約を用いて、ラマージュ数の新たな下界を導出可能か？
• RQ4 一般のグラフ不変量に対して、$\sigma_e^v$ パラメータ間のサイジィの構造はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 基本的不変量からグラフを再構成する際の計算複雑性は何か？また、グラフサイズの増加に伴いどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• $\mathcal{E}(4)$ の $E$-変換行列 $E$ は $r(3) \leq 6$ の証明に成功するが、$\mathcal{E}(5)$ では $r(4) \leq 18$ の証明に不十分である。
• 弱いグラフ的値は小さな $G$-poset からの不等式によって定義されるが、それらが対応するグラフの存在を保証するわけではない。
• 強いグラフ的値は、局所的に有限な集合によって生成される局所的連結グラフからなるグラフに対して、必要十分な制約によって特徴づけられる。
• 局所的近傍構造が有限である制限付き条件下では、基本的不変量からのグラフ再構成は NP 完全である。
• パラメータ $\sigma_e^v$ を用いることで、ラマージュ数の問題を次元が中程度で調整可能な整数多面体問題に再定式化できる。
• $r(5}$ のサイジィ計算には $\mathcal{E}(10)$ 必要であり、現在の実装ではデスクトップメモリの上限を超えるため、高い計算コストであることが示唆される。