[論文レビュー] The Rohlin property for inclusions of $C^*$-algebras with a finite Watatani index

Hiroyuki Osaka, Kazunori Kodaka+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限Watatani指数をもつ単位元をもつ$C^*$-代数の包含関係に対して、Rohlin性質と近似的代表可能性を導入し、これら二つの概念の双対性を確立する。この包含関係がAF、AI、AT、安定的スカラー群1、実スカラー0の代数といった重要な構造的性質を保つことを証明し、有限群作用におけるRohlin性質に関する結果を一般の包含関係へと拡張する。

ABSTRACT

We introduce notions of the Rohlin property and the approximate representability for inclusions of unital $C^*$-algebras. We investigate a dual relation between the Rohlin property and the approximate representability. We prove that a number of classes of unital $C^*$-algebras are closed under inclusions with the Rohlin property, including: AF algebras, AI algebras, AT algebras, and related classes characterized by direct limit decomposition using semiprojective building blocks. $C^*$-algebras with stable rank one. $C^*$-algebras with real rank zero.

研究の動機と目的

• 有限群作用から一般の単位元をもつ$C^*$-代数の包含関係（有限Watatani指数をもつ）へのRohlin性質および近似的代表可能性の概念を拡張すること。
• C^*- 包含系の文脈において、Rohlin性質と近似的代表可能性の双対性を確立すること。
• Rohlin性質をもつ包含関係によって保たれる$C^*$-代数のクラスを同定すること。
• Rohlin性質が条件付き期待値の一意性を示し、期待値そのものではなく包含関係自体の性質であることを示すこと。

提案手法

• 擬基底とWatatani指数理論を用いて、$C^*$-包含関係における条件付き期待値のRohlin性質を定義する。
• 近似的代表可能性を定義し、双対包含構成を用いてRohlin性質との双対性を確立する。
• 有限群作用$\alpha$に対する標準的条件付き期待値$E: A \to A^\alpha$を用い、$\alpha$がRohlin性質をもつことと$E$がRohlin性質をもつことが同値であることを示す。
• Rohlin性質をもつが、いかなる有限群作用（Rohlin性質をもつ）の固定点代数と同型でない包含関係の例を構成する。
• 半射影性および近似的リフト技術を用いて、包含関係が半射影的ブロックをもつ直和限界分解といった構造的性質を保つことを証明する。
• Rohlin射影によって誘導される漸近的ホモオモルフィズム$\beta: A \to P^\infty$を用いて可逆元をリフトし、位相的および実スカラーの性質の安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rohlin性質および近似的代表可能性は、有限群作用から有限Watatani指数をもつ$C^*$-代数の包含関係へどのように一般化できるか？
• RQ2 C^*- 包含系の文脈において、Rohlin性質と近似的代表可能性の双対関係は何か？
• RQ3 Rohlin性質をもつ包含関係によって保たれる$C^*$-代数のクラスは何か？
• RQ4 Rohlin性質をもつ包含関係で、いかなる有限群作用（Rohlin性質をもつ）の固定点代数と同型でないものがあるか？
• RQ5 このような包含関係において、位相的および実スカラーの性質はどの程度保たれるか？

主な発見

• 単位元をもつ$C^*$-代数の包含関係がRohlin性質をもつことと、その双対包含関係が近似的代表的であることとは同値である。
• Rohlin性質は、包含関係における条件付き期待値の一意性を示し、期待値そのものではなく包含関係自体の性質であることを示す。
• AF、AI、AT、および半射影的ブロックをもつ直和限界から構成されるクラスは、Rohlin性質をもつ包含関係によって保たれる。
• もし$A$が位相的安定的スカラー群1をもつならば、$A \supset P$がRohlin性質をもつ包含関係であれば、$P$に対しても位相的安定的スカラー群1が成り立つ。
• もし$A$が実スカラー0をもつならば、$A \supset P$がRohlin性質をもつ包含関係であれば、$P$に対しても実スカラー0が成り立つ。
• Rohlin性質をもつが、いかなる有限群作用（Rohlin性質をもつ）の固定点代数と同型でない包含関係が存在する。これにより、新しい枠組みの一般性が示される。