[論文レビュー] The role of C*-algebras in infinite dimensional numerical linear algebra

William Arveson|ArXiv.org|Jun 8, 1993

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、分離可能なヒルベルト空間上の有界自己随伴作用素の本質的スペクトルを、有限次元行列近似を用いて計算するためのC*-代数的枠組みを提示する。三重対角作用素と単純C*-代数における一意なトレース状態を活用することで、無限大作用素のスペクトル測度に弱収束する有限次元切断の固有値分布が得られ、本質的スペクトルの信頼性の高い数値近似が可能になる。

ABSTRACT

This is a survey of four recent papers which deal with the relationship of simple C*-algebras to the problem of computing the spectra of self-adjoint operators in the general case, especially when the spectrum is not discrete. It is an expanded version of a talk presented at the 50 year C*-algebra celebration, held at the annual meeting of the AMS in San Antonio during January, 1993.

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルベルト空間における自己随伴作用素の本質的スペクトルを数学的に厳密に計算するための手法を開発すること。
• 対角形で与えられていない作用素のスペクトルを近似するための正当な手法の欠如に取り組むこと。
• 作用素の有限次元切断が正しいスペクトル極限に収束するための条件を確立すること。
• C*-代数とトレース状態が、行列近似の固有値分布の収束において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 正規直交基底によるヒルベルト空間のフィルトレーションを定義し、有限次元部分空間H_nへの射影を導入する。
• フィルトレーションに関して作用素の次数の概念を導入し、バンド制限行列の一般化を行う。
• 有限次元成分に分解可能で、和条件を満たす作用素のバナッハ*-代数を構成する。
• C*-代数Aにおける一意なトレース状態τを用いて、リース＝マルコフの定理によりスペクトル測度μ_Tを定義する。
• 三重対角作用素Tのn×n切断の固有値分布が、n→∞のときμ_Tに弱収束することを証明する。
• 商代数A_+/K_+と元のC*-代数Aとの間に同型写像を確立し、構造的一致性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元自己随伴作用素の有限次元行列切断が、正しい本質的スペクトルに収束する条件は何か？
• RQ2 作用素のスペクトル測度は、その有限切断の固有値分布からどのように回復できるか？
• RQ3 C*-代数の唯一のトレース状態が、固有値分布の極限を特徴付ける際に果たす役割は何か？
• RQ4 本質的スペクトルは、作用素代数のC*-代数的構造において、どのような意味で保存されるか？
• RQ5 正規直交基底の選択が、スペクトルへの近似の収束にどのように影響するか？

主な発見

• 三重対角作用素Tのn×n切断の固有値分布は、C*-代数における一意なトレース状態に関連するスペクトル測度μ_Tに弱収束する。
• 任意のf ∈ C₀(ℝ)に対して、n×n切断の固有値におけるfの平均は、n→∞のとき∫ f(x) dμ_T(x)に収束する。
• 作用素Tの本質的スペクトルは、スペクトル測度μ_Tの閉包に等しい。
• λ ∉ σ(T)ならば、λの小さな近傍内にあるn×n切断の固有値の個数は、n→∞のとき有界のまま保たれる。
• コンパクト作用素を modulo した切断作用素のC*-代数A_+は、元のC*-代数Aと同型であり、スペクトル構造を保存する。