[論文レビュー] The role of directionality, heterogeneity and correlations in epidemic risk and spread

Antoine Allard, Cristopher Moore+3 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2020

COVID-19 epidemiological studies被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、接触ネットワークにおける方向性、不均一性、相関性が感染症リスクおよび感染拡大に与える影響を調査し、入次数（リスク）と出次数（拡大）の連合分布が基本再生産数および感染症規模を決定づけることを示している。相関のある重い尾を持つ次数分布—現実のネットワークで一般的—は、標準的なマス・アクションモデルから著しく逸脱する可能性があり、スーパースプレッダー事象に効果的に対処するための特化した接触追跡および干渉戦略の必要性を示している。

ABSTRACT

Most models of epidemic spread, including many designed specifically for COVID-19, implicitly assume mass-action contact patterns and undirected contact networks, meaning that the individuals most likely to spread the disease are also the most at risk to receive it from others. Here, we review results from the theory of random directed graphs which show that many important quantities, including the reproduction number and the epidemic size, depend sensitively on the joint distribution of in- and out-degrees ("risk" and "spread"), including their heterogeneity and the correlation between them. By considering joint distributions of various kinds, we elucidate why some types of heterogeneity cause a deviation from the standard Kermack-McKendrick analysis of SIR models, i.e., so-called mass-action models where contacts are homogeneous and random, and some do not. We also show that some structured SIR models informed by realistic complex contact patterns among types of individuals (age or activity) are simply mixtures of Poisson processes and tend not to deviate significantly from the simplest mass-action model. Finally, we point out some possible policy implications of this directed structure, both for contact tracing strategy and for interventions designed to prevent superspreading events. In particular, directed graphs have a forward and backward version of the classic "friendship paradox" -- forward edges tend to lead to individuals with high risk, while backward edges lead to individuals with high spread -- such that a combination of both forward and backward contact tracing is necessary to find superspreading events and prevent future cascades of infection.

研究の動機と目的

• 方向性、不均一性、相関性が標準的なマス・アクション仮定を越えて感染症ダイナミクスに与える影響を理解すること。
• ネットワーク構造に起因するため、感染症モデルが古典的なSIR／ケルマック＝マケンディック解析からどの程度逸脱するかを特定すること。
• 有向ネットワーク構造が接触追跡およびスーパースプレッダー事象の抑制に与える影響を評価すること。
• ランダム有向グラフにおける相関のある入次数および出次数分布を用いた感染拡大のモデリングフレームワークを構築すること。
• 活動性または年齢層に基づく構造的SIRモデルが平均場近似とどの程度整合するかを評価すること。

提案手法

• エッジが個々の間での感染伝播の可能性を表すランダム有向グラフ理論を用いて伝播ネットワークをモデル化する。
• 確率生成関数（PGF）を用いて連合入次数および出次数分布を特徴づけ、感染閾値および感染規模の導出を可能にする。
• 相関パラメータ $ a \in [0,1] $ を持つパラメトリックな連合次数分布族を導入し、独立から完全に相関した入次数および出次数の間を滑らかに補間する。
• 基本再生産数 $ R_0 $ を $ R_0 = (1-a)\langle k_{\text{in}} \rangle + a \frac{\langle k_{\text{out}}^2 \rangle}{\langle k_{\text{in}} \rangle} $ として導出し、次数分散および相関に依存することを示す。
• 相関のある入次数および出次数を持つ二種類のポアソン混合モデルに形式的枠組みを適用し、$ R_0 $ の計算には行列のスペクトル半径を、感染規模の解法にはPGF連立方程式系を用いる。
• 有向ネットワークにおけるフレンドシップパラドックスを活用：前方エッジ（感染した者から感受性者へ）は高リスク個体へとつながり、後方エッジ（感受性者から感染した者へ）は高拡散個体へとつながる。これにより、二重方向の接触追跡が不可欠であることが示唆される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入次数（リスク）と出次数（拡大）の間の相関が、有向ネットワークにおける感染閾値および感染規模にどのように影響を与えるか？
• RQ2 ネットワークの不均一性が、どの条件下で標準的なマス・アクションSIRモデルから逸脱するか？
• RQ3 活動性または年齢層に基づく構造的SIRモデルが、ネットワーク構造が存在するにもかかわらず、なぜしばしば平均場モデルと同様に振る舞うのか？
• RQ4 有向ネットワーク構造は、スーパースプレッダー事象の検出に向けたより効果的な接触追跡戦略をどのように支援するか？
• RQ5 入次数および出次数の連合分布が、基本再生産数 $ R_0 $ を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 基本再生産数 $ R_0 $ は、平均入次数に加えて、出次数分布の2次モーメントおよび入次数と出次数の相関に依存する。
• $ a = 1 $ の場合、入次数は出次数と完全に相関しており、 $ R_0 = \frac{\langle k_{\text{out}}^2 \rangle}{\langle k_{\text{in}} \rangle} $ となる。これは次数分散に強く依存することを示している。
• 相関のないネットワーク（$ a = 0 $）では、 $ R_0 = \langle k_{\text{in}} \rangle $ となり、平均場ケースに還元される。
• 感染規模 $ \mathcal{S} $ は、連合次数分布および相関パラメータ $ a $ に依存するPGF方程式系を用いて計算され、二種類のポアソン混合モデルに対して明示的な解が導出されている。
• 有向ネットワークにおけるフレンドシップパラドックスは、前方エッジ（感染した者から感受性者へ）が高リスク個体へとつながり、後方エッジ（感受性者から感染した者へ）が高拡散個体へとつながることを示唆しており、二重方向の接触追跡が不可欠である。
• 活動タイプ（例：年齢層や行動グループ）のポアソン混合に基づくモデルは、通常、平均場モデルと同様に振る舞い、入次数と出次数に強い相関が存在しない限り、標準的なSIR予測から著しく逸脱しない。