[論文レビュー] The role of string topology in symplectic field theory

Kai Cieliebak, Janko Latschev|ArXiv.org|Jun 22, 2007

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、閉じた向き付け可能な多様体 $Q$ の余接 bundle $T^*Q$ の線形化接触ホモロジーと、$Q$ のストリングトポロジー・ホモロジーの間の深いつながりを確立し、境界がゼロ切断にあるホロモーフィック曲線が、ストリングトポロジー作用素が表すのと同じ代数的構造を符号化していることを示している。主な結果は、インボリューション的次数付きリーバイアグラスの同型であり、既知のフロイド理論的同型を一般化し、相対的シンプレクティック場理論（SFT）を、ストリングトポロジー作用素が自然に現れるより広範な枠組みに埋め込んでいる。

ABSTRACT

We outline a program for incorporating holomorphic curves with Lagrangian boundary conditions into symplectic field theory, with an emphasis on ideas, geometric intuition, and a description of the resulting algebraic structures.

研究の動機と目的

• 境界がラグランジュ部分多様体にあるホロモーフィック曲線とストリングトポロジー作用素との間の対応を確立すること。
• シンプレクティック場理論における線形化接触ホモロジーの代数的構造が、余接 bundle の場合にストリングトポロジーのそれと一致することを示すこと。
• フカヤの境界ラベル付きホロモーフィック曲線のアプローチを一般化し、ストリングトポロジーを相対的 SFT のマスターエンジンに統合すること。
• 特に、端点と特異点を含む状況において、SFT とストリングトポロジーを統合するチェーンレベル構造を定式化すること。
• ストリングトポロジー作用素が、シンプレクティックコーブォリズム内のホロモーフィック曲線のモジュライ空間から自然に生じる概念的枠組みを提供すること。

提案手法

• ラグランジュ部分多様体 $Q$ 上のホロモーフィックディスクのモジュライ空間から、$Q$ の自由ループ空間への評価写像を用い、モジュライ空間とストリングトポロジーを結びつける。
• チャス＝サリヴァンのストリングトポロジーにおけるストリング bracket と cobracket を用い、ホロモーフィック曲線のコンパクト化における境界バブル現象をモデル化する。
• 境界が $Q$ にあるホロモーフィック曲線の生成関数 ${\bf L}$ を導入し、$\partial$, $\Delta$, $\nabla$, および $\hbar\nabla$ を含むマスターエンジンを満たす。
• 破れた閉じたストリングのチェーンの非可換形式的級数代数上に、変数 $p_\gamma$（正の特異点）と $q_\gamma$（負の特異点）を持つハミルトニアン ${\bf h}$ を定義する。
• 次数 $-1$ の微分 $\partial + \delta$ と、$ (\partial + \delta)^2 = 0 $ を満たす Lie bracket $[\,,\,]_{\rm SFT} + [\,,\,]_{\rm string}$ を提案し、これにより量子マスターエンジンが得られる。
• 複体 $ (\mathcal{P}, \partial + \delta + [\mathbf{h}, \cdot]) $ のホモロジーが、レジェンドリアン部分多様体のホモトピー型に関して不変であると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界がシンプレクティック多様体 $X$ 内のラグランジュ部分多様体 $Q \subset X$ にあるホロモーフィック曲線は、$Q$ のストリングトポロジーとどのように関係しているか？
• RQ2 シンプレクティック場理論における線形化接触ホモロジーの代数的構造は、ストリングトポロジーのそれと同定可能か？
• RQ3 境界ラベル付き曲線を伴う相対的 SFT のマスターエンジンにおいて、ストリングトポロジー作用素は果たす役割は何か？
• RQ4 ホロモーフィックディスクのモジュライ空間における境界バブル現象は、ストリングトポロジーの bracket とどのように対応するか？
• RQ5 接触ホモロジーとストリングホモロジーの間の同型のチェーンレベル版を定式化し、証明可能か？

主な発見

• 余接 bundle $T^*Q$ の線形化接触ホモロジー $HC^{\rm lin}(T^*Q, \lambda)$ は、多様体 $Q$ のストリングホモロジー $H(\Sigma Q, Q)$ と、インボリューション的次数付きリーバイアグラスとして同型である。
• この同型は、全代数的構造を尊重しており、特に、 genus-0 ホロモーフィック曲線によって定義される Lie bracket と cobracket が、インボリューション性を保つために genus-1 モジュライ空間を必要としている。
• マスターエンジン $ (\partial + \Delta + \hbar\nabla)(e^{\bf L}) = e^{\bf L} \overleftarrow{{\bf H}^{+}} - \overrightarrow{{\bf H}^{-}} e^{\bf L} $ は、フカヤの式を一般化し、ストリングトポロジー作用素 $\Delta$ と $\nabla$ を統合している。
• レジェンドリアン部分多様体に対して、提案されたハミルトニアン ${\bf h}$ は $ (\partial + \delta){\bf h} + \frac{1}{2}[{\bf h},{\bf h}] = 0 $ を満たし、SFT とストリング bracket を組み合わせた bracket が関与している。
• ホモロジー $ H_*(\mathcal{P}, \partial + \delta + [{\bf h}, \cdot]) $ は、レジェンドリアン部分多様体のホモトピー型に関して不変であると予想され、ストリング bracket が微分において中心的な役割を果たす。
• この理論は、ストリングトポロジーが単なる並列構造ではなく、特に境界特異点を伴う状況において、相対的 SFT の形式的枠組みの根幹を成すものであると示すフレームワークを提供する。