[論文レビュー] The Rolling Body Motion Of a Rigid Body on a Plane and a Sphere. Hierarchy of Dynamics

А. В. Борисов, И. С. Мамаев|ArXiv.org|Jun 3, 2003

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 3被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、剛体が平面および球面上を非ホロノミックに転がる運動について包括的な分析を行い、不変測度、追加の第一積分、およびポアソン構造が存在する条件を特定している。チャプリジン、アペル、ワロネツの古典的結果を拡張し、動的対称な体や重心がずれた球体などの特定の対称的状況において、系がエーラー・ヤコビ可積分となり、時間再パラメータ化によってハミルトニアン系に変換可能であることを示している。主たる貢献は、表に要約された統一的な可積分性条件の階層を確立したことであり、2つの積分が存在する場合、一般的に不変測度が存在することを示唆しており、非ホロノミック力学における深い構造的関係を示している。

ABSTRACT

In this paper we consider cases of existence of invariant measure, additional first integrals, and Poisson structure in a problem of rigid body's rolling without sliding on plane and sphere. The problem of rigid body's motion on plane was studied by S.A. Chaplygin, P. Appel, D. Korteweg. They showed that the equations of motion are reduced to a second-order linear differential equation in the case when the surface of dynamically symmetric body is a surface of revolution. These results were partially generalized by P. Woronetz, who studied the motion of body of revolution and the motion of round disk with sharp edge on the surface of sphere. In both cases the systems are Euler-Jacobi integrable and have additional integrals and invariant measure. It turns out that after some change of time defined by reducing multiplier, the reduced system is a Hamiltonian system. Here we consider different cases when the integrals and invariant measure can be presented as finite algebraic expressions. We also consider the generalized problem of rolling of dynamically nonsymmetric Chaplygin ball. The results of studies are presented as tables that describe the hierarchy of existence of various tensor invariants: invariant measure, integrals, and Poisson structure in the considered problems.

研究の動機と目的

• 非ホロノミックな剛体の平面および球面上の転がりにおいて、不変測度、追加の第一積分、およびポアソン構造が存在する条件を体系的に分類すること。
• チャプリジン、アペル、ワロネツの古典的結果を、動的非対称体やジャイロスタティック一般化を含む一般化された状況にまで拡張すること。
• さまざまな体および表面の配置におけるテンソル不変量（測度、積分、ポアソン構造）の階層を確立すること。
• 非ホロノミック系において、積分と不変測度の存在の関係を明確にすること、特に両者が共存するか、あるいは両方が欠落する場合の関係を明らかにすること。

提案手法

• ベクトル力学およびポアソン型運動学的方程式を用いて、剛体が平面または球面上を滑らかに転がる際の運動方程式を導出する。
• ガウス変換を用いて、接触点の位置を法線ベクトル γ を用いて表現し、幾何学的取り扱いを統一化する。
• 慣性モーメントテンソル I および縮小質量項 mr² を用い、角運動量 M と角速度 ω の間の関係 M = Iω + mr × (ω × r) を確立する。
• 還元された系をハミルトニアン形式に変換できる場合に備えて、還元乗数を用いた時間再パラメータ化を導入する。
• 数値的三次元パンルベ写像を用いて、隠れた積分を検出するとともに、解析的結果の妥当性を検証する。
• 対称的および非対称体を含むさまざまな設定における不変量（測度、積分、ポアソン構造）の存在状況を要約した詳細な表を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ホロノミックに転がる剛体が平面または球面上に存在する場合、どのような条件下で不変測度が存在するか？
• RQ2 追加の第一積分が存在するのはいつか？ そして、不変測度の存在とそれらはどのように関係しているか？
• RQ3 還元された系をハミルトニアン系に変換できるか？ もしそうなら、どのような時間再パラメータ化の下で可能か？
• RQ4 動的対称性および幾何的制約（例：重心が接触面にある）は、可積分性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 ジャイロスタティック一般化は、転がり系における積分および測度の存在にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 重心がずれた動的対称なチャプリジンのボールでは、2つの積分 M² = const および (M, Aγ) = const が存在し、不変測度も存在する。
• 球面上を転がる円形ディスクでは、2つの積分と不変測度が存在し、時間再パラメータ化により還元系がハミルトニアン形式に変換可能である。
• 球面上を転がる動的非対称なボールでは、2つの積分を初等関数で表現可能であり、時間変更により系はハミルトニアンとなる。これはワロネツによって示され、後にボリソフとママエフによって確認された。
• 球面上に平面を持つボールでは、特定の幾何的および動的条件（重心が接触面にあること）を満たす場合にのみ不変測度が存在する。
• 系に2つの積分が存在する場合、常に不変測度が存在することと強く関連しており、非ホロノミック系における構造的制約を示唆している。
• 本稿では、ブルン場を系に加えても1つの積分と測度を保存できることが同定されたが、これは特定の対称性条件下でのみ成立し、ボリソフとフェドラフによって示された。