[論文レビュー] The Rolling Motion of a Ball on a Surface. New Integrals and Hierarchy of Dynamics

А. В. Борисов, И. С. Мамаев+1 more|ArXiv.org|Mar 12, 2003

Control and Dynamics of Mobile Robots被引用数 67

ひとこと要約

本稿では、任意の曲面上を非ホロノミックに転がる均一な球の運動について、Routhの19世紀の結果を拡張する新しい積分と力学的階層を提示する。重力場中における円柱面の上では、保存エネルギーと不変測度のおかげで、球の運動は有界であり、垂直方向への定常的下降は生じない。楕円型および双曲型円柱に対しては、2π周期関数Q(ϕ)によって支配される準周期的力学に基づく明示的な四則積分解が導かれる。

ABSTRACT

The paper is concerned with the problem on rolling of a homogeneous ball on an arbitrary surface. New cases when the problem is solved by quadratures are presented. The paper also indicates a special case when an additional integral and invariant measure exist. Using this case, we obtain a nonholonomic generalization of the Jacobi problem for the inertial motion of a point on an ellipsoid. For a ball rolling, it is also shown that on an arbitrary cylinder in the gravity field the ball's motion is bounded and, on the average, it does not move downwards. All the results of the paper considerably expand the results obtained by E. Routh in XIX century.

研究の動機と目的

• 非対称な回転面および2次曲面へのローラー球の運動に関するRouthの古典的結果を拡張すること。
• 特に円柱面および円錐面において、四則積分によって解ける新たなケースを同定すること。
• 特別なクラスの曲面に対して、追加の積分と不変測度の存在を確立し、完全な解析的解を可能にすること。
• 任意の円柱面において重力場内に置かれた球の重心が、定常的下降を経験しないことを証明すること。
• 慣性運動のジャコビ問題（楕円面上）を、滑らかに転がる非ホロノミックな場合に一般化すること。

提案手法

• 非ホロノミックな転がり制約を組み込んだ固定された慣性座標系を用いて運動方程式を導出。運動量Mと曲面の法線γを力学変数として用いる。
• 球の重心位置と曲面の幾何学的性質を関係付けるために、ガウス写像γ = ∇F(r)/|∇F(r)|を用いる。
• 反力の除去により縮約系を導出し、重心位置r、M、γを用いて力学を記述する。
• 円柱面の場合、法線ベクトルをγ = (cosϕ, sinϕ)としてパラメータ表示し、2π周期係数を持つ系に還元する。
• 保存量F2 = M3 = (µ + D)ω3と、密度ρ(γ) = λ−1(γ)の不変測度を特定。ここでλ(γ)は円柱の断面形状に依存する。
• 時間依存性を角度依存性（ϕ）に変換し、準周期的係数を持つ非斉次系に変換。四則積分により解ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような曲面条件下で、ローラー球の問題に追加の積分と不変測度が存在するか？
• RQ2 重力場中における円柱面上を転がる球の運動が、垂直方向に定常的下降を伴わずに有界であることを証明できるか？
• RQ3 円柱断面が円形でない（楕円型または双曲型）場合、力学的挙動はどのように変化するか？
• RQ4 関数Q(ϕ) = (b1cos²ϕ + b2sin²ϕ)^(-3/2)が運動の有界性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 回転面および2次曲面に対して、非ホロノミックな転がり問題が四則積分に還元可能か？

主な発見

• 任意の断面形状の円柱面上を重力場内で転がる球について、z(ϕ)の垂直座標は準周期的振動のおかげで有界のままである。
• 系には保存エネルギーHと保存された角運動量の成分F2 = M3 = 定数が存在し、四則積分による完全な統合が可能である。
• 円柱の場合には不変測度ρ(γ) = λ−1(γ)が存在し、縮約された位相空間において力学が体積保存的であることを保証する。
• 楕円型円柱上では、二つの無理数比の周波数（ω1 = 1, ω2 = ν）が生じ、K1(ϕ), K2(ϕ), z(ϕ)の軌道は準周期的かつ有界である。
• K1(ϕ)とK2(ϕ)の解における積分は、収束するフーリエ級数∑ Qn / (i(n + ν))ei(n+ν)τ（n + ν ≠ 0）のおかげで有界である。
• 本稿では、球が回転面で滑らかに転がる非ホロノミック力学系が、ポテンシャル場内でも可積分であることを示し、Routhの結果を一般化した。