[論文レビュー] The $S^1$-equivariant cohomology rings of $(n-k,k)$ Springer varieties

Tatsuya Horiguchi|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、タイプAの$(n-k,k)$スプリンガー多様体の$S^1$-equivariantコホモロジー環を、理想$I$による多項式環の商として明示的に記述する。これは、フラッグ多様体のBorelの記述を一般化したものである。主な結果は、細胞分解と表の埋め込みに関する帰納法を用いて、$H^*_S(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q})$と$\mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n,t]/I$の間の同型を確立することであり、これにより通常のコホモロジーの新たな記述が得られる。

ABSTRACT

The main result of this note gives an explicit presentation of the $S^1$-equivariant cohomology ring of the $(n-k,k)$ Springer variety (in type $A$) as a quotient of a polynomial ring by an ideal $I$, in the spirit of the well-known Borel presentation of the cohomology of the flag variety.

研究の動機と目的

• タイプAの$(n-k,k)$スプリンガー多様体の$S^1$-equivariantコホモロジー環の明示的代数的記述を提供すること。
• フラッグ多様体のコホモロジーのBorelの記述を、これらのスプリンガー多様体の等化設定に一般化すること。
• 制限写像を用いて、$H^*_S(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q})$と多項式環の商$\mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n,t]/I$との間の環同型を確立すること。
• 通常のコホモロジー環$H^*(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q})$の、Tanisakiの元来の理想とは異なる商としての記述を回復すること。

提案手法

• 最大トーラス$T$の対角行列からなる円周部分群$S \subset T$により、フラッグ多様体に$S^1$作用を誘導すること。
• 既知の全射$H^*_T(Flags(\mathbb{C}^n);\mathbb{Q}) \to H^*_S(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q})$を用いて、エピモルフィズム$\varphi: \mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n,t]/I \to H^*_S(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q})$による記述を構成すること。
• 理想$I$を$\varphi$の核として定義し、$S^1$固定点と許容的埋め込みを持つヤン図形の構造から得られる関係を用いること。
• ヤン図形$(n-k,k)$の列数に関する帰納法を用い、許容的埋め込みに対応する単項式$x_U$が、標準表の$\mathbb{Q}[t]$-線形結合で生成されることを示すこと。
• フック長の公式と組合せ的数え上げを用いて、$\mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n,t]/I$のランクと$\mathcal{S}_{(n-k,k)}$のベッチ数を比較し、同型を証明すること。
• エピモルフィズム$\varphi$が実際には同型であると結論づけ、望ましい記述が確立されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(n-k,k)$スプリンガー多様体の$S^1$-equivariantコホモロジー環は、どのように多項式環の商として明示的に記述できるか？
• RQ2 この設定における等化コホモロジー環を定義する理想$I$の構造は何か？
• RQ3 スプリンガー多様体の$S^1$-equivariantコホモロジーは、通常のコホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ4 $H^*_S(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q})$の記述を用いて、$H^*(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q})$の新たな記述を回復できるか？
• RQ5 多項式環を$I$で割ったものから等化コホモロジー環へのエピモルフィズムは、実際に同型であるか？

主な発見

• $S^1$-equivariantコホモロジー環$H^*_S(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q})$は、明示的に定義された理想$I$を用いて、$\mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n,t]/I$に同型である。
• 理想$I$は、$S^1$固定点構造とヤン図形$(n-k,k)$の許容的埋め込みから得られる関係により生成され、Tanisakiの理想を一般化する。
• $\mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n,t]/I$の$\mathbb{Q}[t]$-モジュールとしてのランクは$\binom{n}{k}$であり、$\mathcal{S}_{(n-k,k)}$のベッチ数と一致する。
• 列数に関する帰納法とフック長の組合せ論を用いて、標準表の$\mathbb{Q}[t]$-線形結合が全環を生成することを示し、同型を証明した。
• 制限写像$H^*_S(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q}) \to H^*(\mathcal{S}_{(n-k,k)};\mathbb{Q})$は全射であり、これにより通常のコホモロジー環の新たな記述$\mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n]/I'$が得られる。これはTanisakiの元来の理想とは異なる。
• 本結果により、これらのスプリンガー多様体の等化コホモロジーに対する新しい明示的環構造が確立され、Borel型の記述が等化設定に拡張された。