[論文レビュー] The $S^1$ fixed points in Quot-schemes and mirror principle computations

Bong H. Lian, Chien‐Hao Liu+2 more|ArXiv.org|Nov 24, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 63被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{P}^1$ 上の自明なバンドルに関連する Quot-スケーム $\mathrm{Quot}(\mathcal{E}^n)$ における固定点成分の正規バンドルの $S^1$-同等オイラー類を計算する図式的手法を開発し、グラスマンニアンのゲージ理論的インバリアントのミラー原理による明示的計算を可能にする。固定点成分はヤング盤にラベル付けされ、ヤング盤から直接オイラー類を計算する規則が導出され、これによりグラスマンニアン内のカルラビ＝ヤウ完備交差のA-モデル振幅が一貫して計算可能となる。

ABSTRACT

We describe the $S^1$-action on the Quot-scheme $\Quot({\cal E}^n)$ associated to the trivial bundle ${\cal E}^n=CP^1 imes{\smallBbb C}^n$. In particlular, the topology of the $S^1$-fixed-point components in $\Quot({\cal E}^n)$ and the $S^1$-weights of the normal bundle of these components are worked out. Mirror Principle, as developed by three of the current authors in the series of work [L-L-Y1, I, II, III, IV], is a method for studying certain intersection numbers on a stable map moduli space. As an application, in Mirror Principle III, Sec 5.4, an outline was given in the case of genus zero with target a flag manifold. The results on $S^1$ fixed points in this paper are used here to do explicit Mirror Principle computations in the case of Grassmannian manifolds. In fact, Mirror Principle computations involve only a certain distinguished subcollection of the $S^1$-fixed-point components. These components are identified and are labelled by Young tableaus. The $S^1$-equivariant Euler class $e_{S^1}$ of the normal bundle to these components is computed. A diagrammatic rule that allows one to write down $e_{S^1}$ directly from the Young tableau is given. From this, the aforementioned intersection numbers on the moduli space of stable maps can be worked out. Two examples are given to illustrate our method. Using our method, the A-model for Calabi-Yau complete intersections in a Grassmannian manifold can now also be computed explicitly. This work is motivated by the intention to provide further details of mirror principle and to understand the relation to physical theory. Some related questions are listed for further study.

研究の動機と目的

• グラスマンニアンを標的空間とする場合のミラー原理計算に向けた明示的かつ計算可能な公式の提供。
• 自明なバンドルを $\mathbb{P}^1$ 上に持つ Quot-スケーム $\mathrm{Quot}(\mathcal{E}^n)$ に関連する $S^1$-固定点成分の特定と特徴付け。
• ヤング盤から直接 $S^1$-同等オイラー類 $e_{S^1}(\nu)$ を計算する図式的規則の確立。
• この手法を用いて、グラスマンニアンへの安定写像のモジュライ空間上の交差数、特にカルラビ＝ヤウ完備交差のA-モデル振幅の計算。
• ミラー原理の背後にある数学的構造と、弦理論における物理理論との関係の明確化。

提案手法

• Quot-スケーム $\mathrm{Quot}(\mathcal{E}^n)$ における $S^1$-作用を解析し、その固定点成分を分類。これらはヤング盤によってパrameter化されるフラッグ多様体に同型であることが示される。
• ヤング盤の組合せ論的データを用いて、各固定点成分における正規バンドルの $S^1$-重みを表現論的技法により計算する。
• ヤング盤の形状と内容から直接 $S^1$-同等オイラー類 $e_{S^1}(\nu)$ を計算する図式的規則を導出する。
• この手法により、ミラー原理を適用し、安定写像のモジュライ空間上の積分を、これらの特徴的な固定点成分への和に還元する。
• 各成分へのハイパープランの引き戻しを、誘導バンドル構造を介して計算し、ゲージ理論的インバリアントの評価を可能にする。
• 2つの明示的例を計算：$\mathrm{Gr}_2(\mathbb{C}^3)$ と $\mathrm{Gr}_1(\mathbb{C}^3)$ の両方で同一の結果が得られ、グラスマンニアンの双対的表現間での一貫性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $S^1$-固定点成分が、グラスマンニアンにおけるミラー原理計算に寄与するか？
• RQ2 ヤング盤などの組合せ論的データから、固定点成分の正規バンドルの $S^1$-同等オイラー類を直接どのように計算できるか？
• RQ3 ヤング盤から正規バンドルの $S^1$-同等オイラー類に変換する正確な図式的規則は何か？
• RQ4 ミラー原理計算の結果は、グラスマンニアンの表現（例：$\mathrm{Gr}_1(\mathbb{C}^3)$ と $\mathrm{Gr}_2(\mathbb{C}^3)$）に依存するか？
• RQ5 この手法はフラッグ多様体やハイパークォートスケームへ一般化可能か？

主な発見

• Quot-スケーム $\mathrm{Quot}(\mathcal{E}^n)$ の $S^1$-固定点成分は、$\mathrm{Fl}_{k_1,\dots,k_r}(\mathbb{C}^n)$ に同型であり、トポロジーが完全に分類されている。
• 各固定点成分における正規バンドルの $S^1$-重みが明示的に計算され、チェーン・ルートの差とヤング盤の形状に依存することが示された。
• ヤング盤から直接 $S^1$-同等オイラー類 $e_{S^1}(\nu)$ を計算する図式的規則が確立され、中間の表現論を回避することができる。
• $\mathrm{Gr}_2(\mathbb{C}^3)$ において次数3の写像の場合、特徴的な成分への全積分は $-\frac{103}{1296}\frac{1}{\alpha^{11}} - \frac{11}{432}\frac{\zeta}{\alpha^{10}} - \frac{1}{432}\frac{\zeta^2}{\alpha^9}$ に等しい。
• $\mathrm{Gr}_1(\mathbb{C}^3)$ においても同様に次数3の写像の場合、同一の全積分が得られ、グラスマンニアンの双対的表現間での一貫性が確認された。
• この手法により、従来の技法では到達できなかった、グラスマンニアン多様体内のカルラビ＝ヤウ完備交差のA-モデルの明示的計算が可能となった。