[論文レビュー] The saddle-node-transcritical bifurcation in a population model with constant rate harvesting

Kie Van Ivanky Saputra, L. van Veen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2010

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、定数割当または移動を伴う修正されたロットカ・ヴォルテラ人口モデルにおける折りたたみ分岐と超臨界分岐の相互作用を調査する。この共通次元2分岐は、平衡点が単一または二重のゼロ固有値を持つかどうかに応じて、カスプまたは退化ボガドノフ＝タケン（DBT）分岐の非普遍的展開として現れることを示し、元のモデルに存在しなかった周期的軌道、ヘテロクリニック軌道、ホモクリニック軌道を含む複雑なダイナミクスを明らかにする。

ABSTRACT

We study the interaction of saddle-node and transcritical bifurcations in a Lotka-Volterra model with a constant term representing harvesting or migration. Because some of the equilibria of the model lie on an invariant coordinate axis, both the saddle-node and the transcritical bifurcations are of codimension one. Their interaction can be associated with either a single or a double zero eigenvalue. We show that in the former case, the local bifurcation diagram is given by a nonversal unfolding of the cusp bifurcation whereas in the latter case it is a nonversal unfolding of a degenerate Bogdanov-Takens bifurcation. We present a simple model for each of the two cases to illustrate the possible unfoldings. We analyse the consequences of the generic phase portraits for the Lotka-Volterra system.

研究の動機と目的

• 定数レートの割当または移動を伴う人口モデルにおける折りたたみ分岐と超臨界分岐の相互作用を分析すること。
• 平衡点が不変座標軸上にある場合の分岐構造を特定し、共通次元1分岐を導くこと。
• 分岐点における単一または二重のゼロ固有値の有無に基づいて、得られるダイナミクスを分類すること。
• 本システムが標準的分岐特異点の非普遍的展開を示すことを証明すること、特にカスプおよび退化ボガドノフ＝タケン（DBT）分岐を含むこと。
• 修正されたモデル構造に起因する、周期的軌道、ヘテロクリニック軌道、ホモクリニック軌道などの新たなダイナミカル特徴の出現を特定すること。

提案手法

• 座標軸の不変性を保つ定数項を含む平面的ロットカ・ヴォルテラ系を用いる。
• 中心多様体還元および正規形理論を適用し、ゼロ固有値を有する平衡点を分析し、一つまたは二つのゼロ固有値を持つ場合を区別する。
• 変数の4次まで明示的な表現を持つ正規形に還元するための座標変換を導出する。
• 正規形をスケーリングし、分岐相互作用の本質的ダイナミクスを捉える最小モデルを取得する。
• 変換の非退化条件を同定し、特定のパrameter制約下での有効性を保証する。
• 得られたモデルを既知の正規形と比較し、超臨界分岐のパrametric依存性により、展開が非普遍的であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数割当を伴う人口モデルにおいて、折りたたみ分岐と超臨界分岐の相互作用はどのように現れるか？
• RQ2 平衡点が単一のゼロ固有値を持つ場合と二重のゼロ固有値を持つ場合の、局所的分岐構造は何か？
• RQ3 不変座標軸の存在が、分岐相互作用の共通次元および種別にどのように影響するか？
• RQ4 この分岐相互作用から、周期的軌道、ヘテロクリニック接続、ホモクリニック分岐などの新たなダイナミカル行動がどのように生じるか？
• RQ5 なぜ分岐の展開が非普遍的であり、その影響が得られるダイナミクスの分類にどのように現れるか？

主な発見

• 平衡点が単一のゼロ固有値を持つ場合、折りたたみ分岐と超臨界分岐の相互作用は、カスプ分岐の非普遍的展開として現れる。
• 平衡点が二重のゼロ固有値を持つ場合、システムは退化ボガドノフ＝タケン（DBT）分岐の非普遍的展開を経験する。
• 修正されたモデルは、元のロットカ・ヴォルテラ系に存在しなかった新たなダイナミカル特徴を支持する。これには、周期的軌道、ヘテロクリニック接続、ホモクリニック分岐が含まれる。
• システムの正規形は、k4およびk5に比例する項が不変多様体を分離させることを示し、これにより二つの異なるヘテロクリニック接続とホモクリニック分岐が形成されることを示す。
• 分岐図は、楕円型とサドル型の二つの位相的に異なるケースを示し、DBT特異点の異なる展開に対応する。
• パrameter a11、a21、a22、D3、D4、および(a22 + a12)がすべて非ゼロである場合、変換の非退化条件が満たされることを確認し、正規形還元の有効性が保証される。