[論文レビュー] The Sasa-Satsuma equation with non-vanishing boundary conditions

Lili Wen, Engui Fan|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非消滅境界条件を有するSasa-Satsuma方程式に対する逆散乱変換を、2枚のリーマン面に渡るリーマン＝ヒルベルト問題を用いて構築する。これにより、スペクトルパラメータの多価性が解消される。固有関数および散乱係数の正則性、対称性、漸近的挙動が確立され、再構成公式を用いて$N$-ソリトン解が導出される。さらに、離散スペクトルの分類に基づき、3種類の異なる単一ソリトン解が明示的に構成され、非ゼロ境界条件下でのソリトン解の完全なフレームワークが提供される。

ABSTRACT

We concentrate on inverse scattering transformation for the Sasa-Satsuma equation with $3 imes 3$ matrix spectral and nonzero boundary condition in this article. To circumvent multi valuedness of eigenvalues, we introduce a suitable two-sheet Riemann surface to map the original spectral parameter $k$ into a single-valued parameter $z$. The analyticity of the Jost eigenfunctions and scattering coefficients of Lax pair for the SS equation are analyzed in details. According to the analyticity of eigenfunctions and scattering coefficients, the $z$-complex plane is divided into four analytic regions $D_j, \ j=1, 2, 3, 4$. Since the second column of Jost eigenfunctions is analytic in $D_{j}, \ j=1, 2, 3, 4$, but in upper-half or lower-half plane, we introduce certain auxiliary eigenfunctions which are necessary for deriving the analytic eigenfunctions in $D_{j}$. We find that for the eigenfunctions, scattering coefficients and the auxiliary eigenfunctions all possess three kinds of symmetries, which characterize the distribution of discrete spectrum. The asymptotic behaviors of eigenfunctions, auxiliary eigenfunctions and scattering coefficients are also systematically derived. Then a matrix Riemann-Hilbert problem with four kind jump conditions associated with the problem of nonzero asymptotic boundary conditions is established, from which $N$-soliton solutions is obtained via the corresponding reconstruction formulae. The reflectionless soliton solutions are explicitly given. As application of the $N$-soliton formula, we present three kinds of single-soliton solutions according to the distribution of discrete spectrum.

研究の動機と目的

• 非ゼロ境界条件を有するSasa-Satsuma方程式に対する厳密な逆散乱変換を開発すること。これは物理的に重要であるが、$3\times3$行列Lax対のスペクトルの複雑さのため、数学的に困難である。
• 3×3行列Lax対におけるスペクトルパラメータの多価性を解消するために、2枚のリーマン面への写像$k \to z$を導入し、単価な解析を可能にする。
• 複素$z$-平面上の4つの異なる領域$D_j$（$j=1,2,3,4$）において、ジョスト固有関数、散乱係数、補助固有関数の正則性、対称性、漸近的挙動を同定する。
• 非ゼロ境界条件に適合する4つのジャンプ条件を持つ行列リーマン＝ヒルベルト問題を定式化し、$N$-ソリトン解の導出を可能にする。
• 離散スペクトルを3種類（第一、第二、第三種）に分類することに基づき、3種類の異なる単一ソリトン解を明示的に構成する。

提案手法

• スペクトルパラメータ$k$を多価から単価なパラメータ$z$へ写像する2枚のリーマン面を導入し、スペクトル問題における正則性の問題を解消する。
• 複素$z$-平面上の4つの不交和領域$D_j$（$j=1,2,3,4$）において、固有関数の第二列の正則性を特定し、ジョスト固有関数および散乱係数の正則性を分析する。
• 各領域$D_j$における正則性を保証するため、補助固有関数を定義し、適切に定式化されたリーマン＝ヒルベルト問題の構築を可能にする。
• 4つの解析領域に対応する4つのジャンプ条件を持つ行列リーマン＝ヒルベルト問題を確立し、散乱問題からの対称性および漸近的データを組み込む。
• リーマン＝ヒルベルト問題の解を用いて再構成公式を導出し、散乱データからポテンシャル$q(x,t)$を回復する。
• $N$-ソリトン公式を適用し、3種類の異なるスペクトル構成（第一、第二、第三種固有値）に対応する単一ソリトン解の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sasa-Satsuma方程式の非消滅境界条件に対する逆散乱変換は、$3\times3$行列Lax対のスペクトルの複雑さを考慮すると、どのように拡張可能か？
• RQ2 スペクトルパラメータ$k$の多価性を解消し、固有関数および散乱係数の単価な解析を可能にする適切なリーマン面構造は何か？
• RQ3 固有関数、散乱係数、補助固有関数の対称性は、離散スペクトルの分布をどのように特徴づけ、リーマン＝ヒルベルト問題の定式化に影響を与えるか？
• RQ4 ジョスト固有関数、補助固有関数、散乱係数の漸近的挙動は複素$z$-平面上でどのように振る舞い、ジャンプ行列にどのように影響を与えるか？
• RQ5 リーマン＝ヒルベルト問題の解から$N$-ソリトン解をどのように再構成可能か？また、異なる離散スペクトルタイプに対応する単一ソリトン解の明示的形は何か？

主な発見

• 本稿は、非ゼロ境界条件を有するSasa-Satsuma方程式に対する行列リーマン＝ヒルベルト問題を2枚のリーマン面上で明示的に構築し、逆散乱変換の実現を可能にした。
• 固有関数、散乱係数、補助固有関数に対して3種類の異なる対称性が同定され、これらは複素$z$-平面上における離散スペクトルの分布を完全に特徴づける。
• ジョスト固有関数、補助固有関数、散乱係数のすべての主要関数の漸近的挙動が体系的に導出され、リーマン＝ヒルベルト問題におけるジャンプ行列の定義に用いられた。
• $N$-ソリトン解はリーマン＝ヒルベルト問題の解を用いて明示的に再構成され、ポテンシャルは$q(x,t) = \det \mathbf{W}^{\text{aug}} / \det \mathbf{W}$で与えられる。ここで$\mathbf{W}^{\text{aug}}$および$\mathbf{W}$は、反射係数および正規化定数を含む行列として定義される。
• 3種類の異なる単一ソリトン解が明示的に導出された：第一種固有値（$\nu_n$）に対応する1つ、第二種（$\zeta_n$）に対応する1つ、第三種（$\omega_n$）に対応する1つ。各解は固有の関数的形と伝搬ダイナミクスを有する。
• 数値的図版（図3～8）により、異なるパrameter領域（$\rho < q_0$、$\rho > q_0$、$\rho > 0$、$\rho < 0$）における3種類の単一ソリトン解の存在と特徴的なプロファイルが確認され、解析的分類の妥当性が裏付けられた。