[論文レビュー] The Sasakian Geometry of the Heisenberg Group

Charles P. Boyer|ArXiv.org|Apr 8, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、Heisenberg群 $\mathfrak{H}^{2n+1}$ のSasakian幾何を調査し、そのSasaki錐が極値Sasakian構造の集合と一致することを証明する。主な結果は、スカラー曲率が定数であることと、計量の $\Phi$-断面曲率が $-3$ であることが同値であることであり、これは極値Sasakian構造の中で標準Sasakian構造を特徴付ける。

ABSTRACT

In this note I study the Sasakian geometry associated to the standard CR structure on the Heisenberg group, and prove that the Sasaki cone coincides with the set of extremal Sasakian structures. Moreover, the scalar curvature of these extremal metrics is constant if and only if the metric has $Φ$-sectional curvature $-3.$ I also briefly discuss some relations with the well-know sub-Riemannian geometry of the Heisenberg group as well as the standard Sasakian structure induced on compact quotients.

研究の動機と目的

• Heisenberg群 $\mathfrak{H}^{2n+1}$ 上の標準的CR構造に関連するSasakian幾何を分析すること。
• このCR構造に対するSasaki錐の構造と、極値Sasakian計量との関係を特定すること。
• Heisenberg群上の極値Sasakian計量がスカラー曲率を定数に持つ条件を特徴付けること。
• Sasakian幾何、部分リーマン幾何、およびHeisenberg群上のCR構造との関係を調査すること。
• Heisenberg群のコンact商上のSasakian構造の振る舞いを検討すること。

提案手法

• 本稿は、Heisenberg群上の標準的CR構造を用いて、Reebベクトル場と自己準同型 $\Phi$ を介して自然な接触計量構造を定義する。
• 1-形式 $\eta$、その外微分 $d\eta$、および $\Phi$ からRiemann計量 $g$ を構成し、接触計量構造 $(\xi, \eta, \Phi, g)$ を形成する。
• Sasaki錐の分析は、$\Phi$-断面曲率とCR自己同型群内のスケーリング作用を考察することで行われ、これにより錐の次元が $n$ に減少する。
• 極値Sasakian計量は、スカラー曲率の $L^2$ ノルムの臨界点として特定され、スカラー曲率の横断的勾配が横断的に正則であることが要求される。
• 本稿は、異方的極限によるスケーリングを用いてSasakian計量と部分リーマン幾何のCarnot-Carathéodory計量を比較し、幾何的双対性を強調する。
• 離散的部分群 $\Gamma_{\bf l}$ を用いてコンパクト商を構成し、ホロモーフィック線束とアーベル・多様体を用いて誘導されたSasakian構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Heisenberg群のSasaki錐は、極値Sasakian構造の集合と一致するか？
• RQ2 Heisenberg群上の極値Sasakian計量のスカラー曲率が定数となる条件は何か？
• RQ3 Heisenberg群上のSasakian幾何と部分リーマン幾何の関係は何か？
• RQ4 どのSasakian構造がHeisenberg群上でコンパクト商に引き継がれるか？
• RQ5 コンパクトSasakian-nilmanifoldと極化されたアーベル多様体の関係は何か？

主な発見

• Heisenberg群 $\mathfrak{H}^{2n+1}$ のSasaki錐は、CR自己同型群内のスケーリングにより次元が低下するにもかかわらず、極値Sasakian構造の集合と一致する。
• Heisenberg群 $\mathfrak{H}^{2n+1}$ 上の極値Sasakian計量のスカラー曲率が定数であることと、$\Phi$-断面曲率が $-3$ であることが同値である。
• 標準Sasakian構造（$\Phi$-断面曲率 $-3$）は、Heisenberg群上での唯一のnull-eta-Einstein構造である。
• 一般のSasakian構造 ${\mathcal{S}}_{1,{\bf a}}$ の中で、${\bf a}=0$ の標準的構造のみがコンパクト商に引き継がれる。
• コンパクト商 $\mathfrak{N}^{2n+1}(\Gamma_{\bf l})$ に誘導されるSasakian構造は、$\Phi$-ホロモーフィック断面曲率が定数 $-3$ のnull-eta-Einstein構造である。
• 線束 $L$ の単位円板束構成を介して、nilmanifold $\mathfrak{N}^{2n+1}(\Gamma_{\bf l})$ と極化されたアーベル多様体 $({\mathbb{C}}^n/\Lambda_{\bf l}, L)$ の間に1対1対応が存在する。