[論文レビュー] The saturation of exponents and the asymptotic fourth state of turbulence

Katepalli R. Sreenivasan, Victor Yakhot|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2022

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ひとこと要約

本稿は、高レイノルズ数乱流における構造関数のスケーリング指数 ζₙ の飽和現象を説明する理論を提案する。大規模な n に対して ζₙ が定数（約 7.32）に近づくことを示し、極端で一貫性のあるミミズ状の渦構造が支配的であることを示している。再生化された摂動理論から得られる ζₙ の正確な式を用いて、4つの乱流状態における速度増分の確率密度関数（PDF）を導出し、スケール分離が崩壊し、大規模と小規模のスケール間に強い結合が生じる漸近的第4状態を特定する。

ABSTRACT

A recent discovery about the inertial range of homogeneous and isotropic turbulence is the saturation of the scaling exponents $ζ_n$ for large $n$, defined via structure functions of order $n$ as $S_{n}(r)=\overline{(δ_r u)^{n}}=A(n)r^{ζ_{n}}$. We focus on longitudinal structure functions for $δ_r u$ between two positions that are $r$ apart in the same direction. In a previous paper (Phys.\ Rev.\ Fluids 6, 104604, 2021), we developed a theory for $ζ_n$, which agrees with measurements for all $n$ for which reliable data are available, and shows saturation for large $n$. Here, we derive expressions for the probability density functions of $δ_r u$ for four different states of turbulence, including the asymptotic fourth state corresponding to the saturation of exponents for large $n$. This saturation means that the scale separation is violated in favor of a strongly-coupled quasi-ordered flow structures, which take the form of long and thin (worm-like) structures of length $L$ and thickness $l=O(L/Re)$.

研究の動機と目的

• 均一かつ等方的乱流の高次構造関数における異常スケーリングの起源を理解すること。
• スケーリング指数の飽和に基づき、4つの異なる乱流状態（特に漸近的第4状態）を特定・特徴付けること。
• 全4つの乱流状態にわたる速度増分の確率密度関数（PDF）の解析的表現を導出すること。
• 高レイノルズ数乱流におけるスケール分離と局所的ガリレオ変換不変性の妥当性に疑問を呈すること。
• 極端な出来事象と一貫性のある構造が、高次の n における慣性域を支配しており、従来のコルモゴロフ理論に基づくモデルが無効であることを示すこと。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式に時間的に白色なガウス型駆動を施した場合の再生化摂動理論を用いて、正確なスケーリング指数 ζₙ を導出する。
• メリン変換を用いて、スケーリング指数 ζₙ から速度増分の PDF を再構成する。
• ζ₂ₙ = 0.366n / (0.05n + 0.475) という式を用いて、大規模な n における ζₙ の飽和をモデル化する。
• 漸近的第4状態を n → ∞ の極限として特定し、ζₙ → 7.32 であることを示し、スケール分離の喪失を示す。
• 有効な局所レイノルズ数 Rλ ≈ 8.8 を分析し、強い相互作用のため摂動理論が破綻することを示す。
• 漸近的状態は、長さ L と厚さ l ≈ L/Re の長く細いミミズ状の渦構造によって支配されており、これが特徴である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均一かつ等方的乱流における高次 n の構造関数スケーリング指数 ζₙ が飽和する原因は何か？
• RQ2 特に漸近的領域において、速度増分の確率密度関数（PDF）はどのように異なる乱流状態で変化するか？
• RQ3 高レイノルズ数乱流における ζₙ の飽和とスケール分離の崩壊を裏付ける物理的構造は何か？
• RQ4 なぜ従来のコルモゴロフ理論は、高次モーメントを支配する極端な出来事象を説明できないのか？
• RQ5 長く細い渦構造（ミミズ状）が、慣性域における統計的独立性をどの程度置き換えるのか？

主な発見

• 大規模な n に対してスケーリング指数 ζₙ は、公式 ζ₂ₙ = 0.366n / (0.05n + 0.475) に従い、約 7.32 に飽和する。
• 漸近的第4状態は、ζₙ → 7.32 となる普遍的極限に対応し、速度変動 u_r ~ 1 の極端なフラクチュエーションが一般的であることを示し、スケール分離が無効であることを示す。
• 漸近的状態における速度増分の確率密度関数は、長さ L と厚さ l ≈ L/Re の長く細いミミズ状の渦構造によって支配されている。
• 有効な局所レイノルズ数 Rλ ≈ 8.8 であり、これは摂動理論が破綻し、乱流が弱い相互作用ではなく強い結合を示していることを示す。
• 比 Γ(n) = ζₙ⁴¹ / ζₙ ≈ 0.0455n + 0.864 により、n ≥ 20 の範囲で間歇的性が支配的となり、コルモゴロフの局所的独立性仮定が無効であることが示される。
• 漸近的状態は、スケール分離がなく、大規模と小規模のスケール間に強い結合がある、長く細いスパゲッティ状の渦のガスとして最も適切に記述される。