[論文レビュー] The Scale Factor in the Universe with Dark Energy

M. V. Sazhin, O. S. Sazhina+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、定数の状態方程式パラメータ $ w \in [-1.5, -0.5] $ を持つ物質とダークエネルギーで支配される平坦なフレリデマン＝レマートル＝ロバートソン＝ウォーカー宇宙におけるスケール因子の正確な解析的解を導出する。物理的時間および共形時間におけるスケール因子の非常に高精度（1%未満の誤差）な近似を、すべての宇宙論的時代にわたって有効とするものであり、任意の $ w $ に対して共形時間とスケール因子の正確な暗黙的関係を確立しており、標準的な $ \Lambda $CDM 近似を著しく上回る。

ABSTRACT

Friedmans cosmological equations for the scale factor are analyzed for the Universe containing dark energy. The parameter of the equation of state of the dark energy is treated as an arbitrary constant whose value lies within the interval $w \in [-1.5, -0.5]$, the limits of which are set by current observations. A unified analytic solution is obtained for the scale factor as a function of physical and conformal time. We obtain approximated solutions for scale factor to an accuracy of better then 1%. This accuracy is better then measurement errors of global density parameters and therefore is suitable for the approximated models of our Universe. An analytic solution is obtained for the scale factor in $Λ$CDM cosmological model both in physical and conformal time, for the description of the evolution of the Universe from the epoch of matter domination up to the infinite future.

研究の動機と目的

• ダークエネルギーが定数の状態方程式パラメータ $ w $ で特徴づけられる宇宙における、物理的時間および共形時間の関数としてのスケール因子の正確な解析的解を導出すること。
• 物質およびダークエネルギー支配を含む、すべての宇宙論的時代にわたって有効な、非常に高精度（1%未満）のスケール因子の近似を構築すること。
• 減速から加速への膨張の転換を分析し、物質支配の開始時刻やスケール因子が無限大に達する時刻といった重要な時刻を特定すること。
• 標準的な $ \Lambda $CDM 近似と一般の $ w $ の解との精度を比較し、正確な宇宙論的モデル化においてそれらの不適切さを示すこと。
• 任意の $ w $ に対して、共形時間とスケール因子の正確な暗黙的方程式を提供し、ダークエネルギーのダイナミクスの改善されたモデル化を可能とすること。

提案手法

• 平坦な宇宙におけるフレリデマン方程式を、$ w $ でパラメータ化されたダークエネルギーを用いて解き、入力パrameterとして $ \Omega_m = 0.27 $、$ \Omega_\Lambda = 0.73 $、$ H_0 $ を使用する。
• $ \Lambda $CDM モデルにおけるスケール因子 $ a(t) $ および共形時間 $ \eta $ の正確な解を、ヤコビの楕円関数を用いて導出する。
• 任意の $ w \in [-1.5, -0.5] $ に対して、物理的時間および共形時間の関数としてのスケール因子の統一的解析的解を、暗黙の積分方程式から導出する。
• 共形時間の全範囲にわたって1%未満の誤差で収まる、3つの三角関数を用いたスケール因子の近似を構築する。
• 減速から加速への転換の赤方偏移 $ z_q $ などの重要な宇宙論的瞬間を評価し、$ w $ に依存するその依存関係を導出する。
• $ a(\eta, w) $ を $ \Lambda $CDM 解と比較することで近似の精度を評価し、$ w \neq -1 $ の場合に10%を超える偏差が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態方程式パラメータ $ w \in [-1.5, -0.5] $ を持つダークエネルギーで特徴づけられる宇宙において、物理的時間および共形時間の関数としてのスケール因子の正確な解析的解は何か？
• RQ2 $ w \neq -1 $ の場合、標準的な $ \Lambda $CDM 近似はスケール因子に対してどれほど正確か？より良い近似を構築できるか？
• RQ3 任意の $ w $ に対して、共形時間とスケール因子との間の関数的関係は何か？また、それを単純な関数で近似できるか？
• RQ4 宇宙が減速から加速に転換する赤方偏移は何か？また、これは $ w $ にどのように依存するか？
• RQ5 一般の $ w $-依存モデルにおける重要な共形時間の区間および主要な宇宙論的時代（例：物質支配、スケール因子が無限大に達する時刻）は何か？

主な発見

• $ \Lambda $CDM モデルにおけるスケール因子の正確な解が、物理的時間および共形時間の関数として導出され、共形時間の解はヤコビの楕円関数を用いて表現される。
• 共形時間の全範囲にわたって1%未満の誤差で収まる、3つの三角関数を用いた高精度なスケール因子の近似が開発され、全宇宙密度パラメータの測定誤差を上回る。
• 標準的な $ \Lambda $CDM モデルにおけるスケール因子のべき乗近似は不十分であり、誤差が著しく10%を超えるため、正確な宇宙論的モデル化には不適切であることが判明した。
• 減速から加速への転換の赤方偏移 $ z_q $ は $ w $ に対して非単調的に依存し、特定の $ w $-依存の $ \Omega_q/\Omega_m $ 確率比で最大値を示す。
• 一般の $ w $-モデルと $ \Lambda $CDM モデルとの間の近似誤差は、$ w \neq -1 $ の場合に10%を超えることが示され、$ \Lambda $CDM 近似が一般のダークエネルギーパラメータを持つ宇宙のモデル化には不十分であることが明らかになった。
• 任意の $ w \in [-1.5, -0.5] $ に対して、スケール因子を関数とする共形時間の正確な暗黙的解が導出され、超幾何関数を含むものであり、すべての宇宙論的時代にわたって有効である。