[論文レビュー] The scaling properties and the multiple derivative of Legendre polynomials

Guillaume Laurent, Geoffrey Robert Harrison|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ルジャンドル多項式 $P_n(\lambda x)$ 及びその多重微分のスケーリングの明示的解析的表現を導出する。$P_n(\lambda x)$ は、ロドリゲスの公式および超幾何級数を用いて導かれた閉形式の係数を有するルジャンドル多項式またはその微分の和として展開可能であり、微分展開の係数に関する再帰関係も確立する。

ABSTRACT

In this paper, we study the scaling properties of Legendre polynomials Pn(x). We show that Pn(ax), where a is a constant, can be expanded as a sum of either Legendre polynomials Pn(x) or their multiple derivatives dkPn(x)/dxk, and we derive a general expression for the expansion coefficients. In addition, we demonstrate that the multiple derivative dkPn(x)/dxk can also be expressed as a sum of Legendre polynomials and we obtain a recurrence relation for the coefficients.

研究の動機と目的

• 定数 $\lambda$ に対するスケーリング変換 $P_n(\lambda x)$ の明示的表現を導出すること。これは、ルジャンドル多項式の既知の性質を拡張することを目的とする。
• 物理的および数学的問題における解析的取り扱いを可能にするために、$P_n(\lambda x)$ をルジャンドル多項式 $P_{n-2k}(x)$ 及びその多重微分 $d^kP_{n-k}/dx^k$ の線形結合として表現すること。
• $P_n(x)$ の $k$-階微分の展開における係数に関する再帰関係を確立すること。
• ロドリゲスの公式、二項展開、および超幾何級数の恒等式を用いて、展開係数を体系的に計算する手法を提供すること。
• 球面調和関数を平面に射影する応用を支援するため、特に物理および工学分野において、スケーリングされたルジャンドル関数のための解析的ツールを提供すること。

提案手法

• ロドリゲスの公式を用いて $P_n(\lambda x)$ を導出し、合成関数の微分法則および二項展開を適用して、低次のルジャンドル多項式の微分の和としてスケーリングされた多項式を表現する。
• 得られた $x^2 - 1$ 項の多項式をヴィエトの公式を用いて展開し、$\lambda$ および $n$ に依存する係数を決定する。
• 得られた多項式に $n$-階微分を適用し、ルジャンドル多項式のロドリゲス表現を用いて結果をルジャンドル多項式の形に再表現する。
• 超幾何級数表現における係数を一致させることで、$k$-階微分 $d^kP_n/dx^k$ のルジャンドル多項式への展開を導出する。
• 超幾何関数表現 $P_n(x) = {}_{2}F_1(-n,n+1,1;(1-x)/2)$ を用い、微分法則を適用して $d^kP_n/dx^k$ の級数を得る。
• 超幾何級数展開における同次項の係数を等置することにより、展開係数 $\alpha_{n-k-2i}$ の再帰関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数スケーリング係数 $\lambda$ に対して、$P_n(\lambda x)$ をルジャンドル多項式 $P_{n-2k}(x)$ の線形結合としてどのように表現できるか？
• RQ2 表現 $P_n(\lambda x) = \sum_k b_{\lambda,n,k} P_{n-2k}(x)$ における展開係数 $b_{\lambda,n,k}$ の解析的形は何か？
• RQ3 $P_n(x)$ の $k$-階微分 $d^kP_n/dx^k$ は、低次のルジャンドル多項式の有限和として表現可能か？ もしそうであれば、その係数は何か？
• RQ4 $d^kP_n/dx^k = \sum_i \alpha_{n-k-2i} P_{n-k-2i}(x)$ の展開における係数 $\alpha_{n-k-2i}$ を支配する再帰関係は何か？
• RQ5 ルジャンドル多項式のスケーリングおよび微分特性は、その超幾何関数表現および下降階乗の恒等式とどのように関係しているか？

主な発見

• スケーリング性質 $P_n(\lambda x)$ は、$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{\lambda,n,k} \frac{d^k}{dx^k} P_{n-k}(x)$ として表現され、係数 $a_{\lambda,n,k} = \frac{\lambda^{n-2k}(\lambda^2 - 1)^k}{2^k k!}$ である。
• ルジャンドル多項式に関する $P_n(\lambda x)$ の展開は、$P_n(\lambda x) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} b_{\lambda,n,k} P_{n-2k}(x)$ で与えられ、係数 $b_{\lambda,n,k}$ は係数 $\alpha_{n,k,i}$ を含む二重和から導出される。
• $P_n(x)$ の $k$-階微分は有限和として表現可能であることが示され、$\frac{d^k}{dx^k} P_n(x) = \sum_{i=0}^{\lfloor (n-k)/2 \rfloor} \alpha_{n-k-2i} P_{n-k-2i}(x)$ であり、係数 $\alpha_{n-k-2i}$ は再帰関係を満たす。
• $\alpha_{n-k-2i}$ の再帰関係は、$\alpha_{n-k-2i} = \frac{2^{k+2i}(n-\frac{1}{2})^{\underline{k}}(n-i)^{\underline{i}}(n-k-\frac{1}{2})^{\underline{2i}}}{(2i)^{\underline{2i}}(n-\frac{1}{2})^{\underline{i}}} - \sum_{l=0}^{i-1} \frac{(2(n-k-i-l))^{\underline{2(i-l)}}}{(2(i-l))^{\underline{2(i-l)}}} \alpha_{n-k-2l}$ として導出される。
• $\alpha_{n,k,i}$ の明示的表現は、$\alpha_{n,k,i} = \frac{2^{k+i}(n-k+i-\frac{1}{2})^{\underline{k-i}}(n-k)^{\underline{i}}(n-2k+2i-\frac{1}{2})^{\underline{2i}}}{(2i)^{\underline{2i}}(n-k+i-\frac{1}{2})^{\underline{i}}} - \sum_{l=0}^{i-1} \frac{(2(n-2k+i-l))^{\underline{2(i-l)}}}{(2(i-l))^{\underline{2(i-l)}}} \alpha_{n,k-i+l,l}$ で与えられる。
• 導出により、$P_n(x)$ の $k$-階微分が、次数 $n-k-2i$ のルジャンドル多項式の有限線形結合として表現可能であり、再帰関係により係数が計算可能であることが確認された。これにより、物理的応用における正確な解析的取り扱いが可能となる。