[論文レビュー] The scattering matrix for 0th order pseudodifferential operators

Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2019

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、双曲的力学的仮定の下で、閉じた曲面上の0次擬微分作用素に対して、吸収極限の原理を確立し、ユニタリな散乱行列を定義する。微局所的径方向推定を用いて、散乱行列が $P - \omega$ の双特徴線に結びついた正則関係を持つ0次フーリエ積分作用素であることを示し、Colin de VerdièreとSaint-Raymondが研究した層状流体内の内部波の微局所的モデルを提供する。

ABSTRACT

We use microlocal radial estimates to prove the full limiting absorption principle for $P$, a self-adjoint 0th order pseudodifferential operator satisfying hyperbolic dynamical assumptions as of Colin de Verdière and Saint-Raymond. We define the scattering matrix for $P-ω$ with generic $ω\in \mathbb R$ and show that the scattering matrix extends to a unitary operator on appropriate $L^2$ spaces. After conjugation with natural reference operators, the scattering matrix becomes a $0$th order Fourier integral operator with a canonical relation associated to the bicharacteristics of $P-ω$. The operator $P$ gives a microlocal model of internal waves in stratified fluids as illustrated in the paper of Colin de Verdière and Saint-Raymond.

研究の動機と目的

• 双曲的力学的仮定の下で、自己共役な0次擬微分作用素に対して、完全な吸収極限の原理を確立すること。
• $P - \omega$ に対して一般の $\omega \in \mathbb{R}$ を用いて散乱行列を定義し、そのユニタリ性を証明すること。
• 散乱行列の微局所的構造を、$P - \omega$ の双特徴線に関連づけた0次フーリエ積分作用素として特徴づけること。
• 層状流体における内部波動的ダイナミクスの微局所的モデルを提供すること。Colin de VerdièreとSaint-Raymondの研究に触発されたものである。

提案手法

• 微局所的径方向推定を用いて、双曲的力学を持つ自己共役な0次擬微分作用素 $P$ に対して、吸収極限の原理を証明する。
• 散乱行列 $\mathbf{S}_\omega$ を、$\mathbb{S}^1$ 上の $\mathbb{C}^d$ 値をとる滑らかな関数の空間間の写像として定義する。ここで $d$ はラグラジアン部分多様体 $\Lambda^\pm_\omega$ の連結成分の数である。
• 解作用素 $H_{\omega,0}^\pm$ を構成し、$C^\infty(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$ から $\mathcal{D}^\pm(P,\omega)$ への写像を定め、逆写像性と解の分解を保証する。
• 固有空間 $\mathscr{A}(P,\omega)$ を除去するため、$\Pi = I - u_0 \otimes u_0$ を適用し、問題を非自己共役設定に還元し、標準的な散乱理論が適用可能になるようにする。
• 境界ペアリング公式を用いて、散乱行列 $\mathbf{S}_\omega$ が $L^2(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$ 上のユニタリ作用素に拡張されることを証明する。
• 散乱行列が $P - \omega$ の双特徴線フローによって誘導される正則関係を持つ0次フーリエ積分作用素であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的力学を持つ0次擬微分作用素に対して、吸収極限の原理はどのように確立できるか？
• RQ2 $\omega$ が埋め込まれた固有値でないとき、$P - \omega$ の散乱行列の構造は何か？
• RQ3 微局所的設定において、散乱行列は $P - \omega$ の双特徴線フローとどのように関係するか？
• RQ4 この文脈で散乱行列がユニタリであることを示せるか。その場合、どのような解析的メカニズムによって実現されるか？
• RQ5 この作用素モデルは、層状流体における内部波動的ダイナミクスの微局所的類似として、どの程度有効か？

主な発見

• 散乱行列 $\mathbf{S}_\omega$ は適切に定義され、$L^2(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$ 上のユニタリ作用素に拡張され、散乱過程におけるエネルギー保存を保証する。
• 解空間 $\mathcal{Z}(P,\omega)$ は、$u = u^- + u^+$ と一意に分解可能であり、$u^\pm \in H_{\omega,0}^\pm(f^\pm)$ を満たす $f^\pm \in C^\infty(\mathbb{S}^1; \mathbb{C}^d)$ が存在する。散乱行列は $f^-$ を $f^+$ に写像する。
• 作用素 $H_{\omega,0}^\pm$ は線形かつ可逆であり、$\mathscr{D}'_{\perp}(P,\omega)$ 内の $(P - \omega)u = 0$ の解をパラメトライズする。
• 散乱行列 $\mathbf{S}_\omega$ は、微局所的に $P - \omega$ の双特徴線フローによって誘導される正則関係を持つ0次フーリエ積分作用素である。
• $\omega$ が $P$ の固有値であっても、$\Pi = I - u_0 \otimes u_0$ を用いて固有空間を投影除去することで、構成は依然有効であり、$P_\perp$ が $\omega_0$ で固有値を持たないことが保証される。
• $P_\perp - P \in \Psi^{-\infty}(M)$ であるため、滑らかになる摂動に対して、散乱行列の微局所的構造は保存される。これにより、双特徴線および正則関係は変化しない。