[論文レビュー] The scattering operator on asymptotically hyperbolic manifolds

Antônio Sá Barreto, Yiran Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、捕獲の仮定を必要とせず、漸近的に双曲的多様体（AHM）上の散乱作用素のスワーツ核の公式を、波動作用素の基本解を用いて確立する。非捕獲なAHMに対しては、散乱作用素が散乱関係を量子化するフーリエ積分作用素であることを証明し、放射場および散乱の微局所的構造に関する先行研究を精緻化する。

ABSTRACT

We obtain a formula for the Schwartz kernel of the scattering operator in terms of the Schwartz kernel of the fundamental solution of the wave operator on asymptotically hyperbolic manifolds. If there are no trapped geodesics, this formula is used to show that the scattering operator is a Fourier integral operator that quantizes the scattering relation.

研究の動機と目的

• 捕獲の仮定を必要とせず、漸近的に双曲的多様体上の散乱作用素のスワーツ核の一般公式を導出すること。
• 非捕獲な場合に、散乱作用素が散乱関係を量子化するフーリエ積分作用素として特徴付けられることを示すこと。
• 非捕獲なAHM上での放射場の微局所的記述を精緻化し、無限遠まで一様な核の記述を提供すること。
• 漸近的に双曲的幾何の文脈において、放射場および散乱関係に関する結果を拡張・統合すること。

提案手法

• 二重空間 $\partial X \times_0 X$ 上での微局所解析を用いて、波動作用素の基本解から散乱作用素の核を導出する。
• 前方面および境界面における吹き上げを適用し、波動核の特異性を解消し、漸近的挙動を分析する。
• リゾルベントのメロモルフィック拡張と $E_+$ と $R_+(\lambda)$ の関係を用いて、波動核と散乱作用素を結びつける。
• $\beta_{\partial}^*$ および $\beta_0^*$ 写像による核の持ち上げを用い、無限遠および境界での挙動を分析する。
• ラグランジュ的分布およびフーリエ積分作用素の理論を適用し、散乱作用素が散乱関係によって量子化されることを示す。
• 先行研究におけるAHM散乱に関するパラメトリクス構成および微局所的技術を用いて、一様な核構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に双曲的多様体上の散乱作用素のスワーツ核は、波動作用素の基本解を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 非捕獲な漸近的に双曲的多様体上での散乱作用素の微局所的構造は何か？
• RQ3 非捕獲な場合に、散乱作用素は散乱関係とどのように関係しているか？
• RQ4 非捕獲なAHMにおいて、二重空間の前方面まで一様に記述可能な放射場核は存在するか？
• RQ5 波動核の漸近的挙動が、散乱作用素の構造を決定づける正確な役割は何か？

主な発見

• 散乱作用素のスワーツ核は、$\beta_{\partial}^\mathcal{K}_{\mathcal{S}}(s,\tilde{m},s') = \mathcal{A}(s - s' - 2\log\rho_{\mathrm{ff},0}, \tilde{m})$ と表現され、ここで $\mathcal{A}$ は波動核の制限から生じる。
• 非捕獲なAHMに対しては、核の波フロントセットの微局所的解析により、散乱作用素が散乱関係を量子化するフーリエ積分作用素であることが示された。
• 放射場核 $\mathcal{K}_{\mathcal{R}_+}$ は、$\beta_{1L}^*\mathcal{K}_{\mathcal{R}_+} = \mathcal{D}(s - \log\rho_{\mathrm{ff},L}, m) + \partial_s\mathcal{D}(s - \log\rho_{\mathrm{ff},L}, m)$ と一様に記述され、$\mathcal{D}$ は特定のラグランジュ部分多様体上での $I^0$ クラスに属する。
• 本結果は、Sá BarretoとWunschの先行研究を拡張し、放射場の微局所的記述を $\partial X \times_0 X$ の前方面まで含む形に精緻化した。
• 捕獲の仮定なしに、波動核を介した散乱核の公式が成り立つことが示され、これにより先行研究が一般化された。
• 散乱行列核が、フーリエ変換の共役作用素を介して散乱作用素から得られることを示し、これにより以前の結果と整合的であることが確認された。