[論文レビュー] The Scattering Relation on Asymptotically Hyperbolic Manifolds

Antônio Sá Barreto, Yiran Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非捕捉な漸近的双曲的多様体（AHM）における散乱関係の滑らかさと構造を確立し、滞在時間関数と測地線フローが無限遠の境界に滑らかに拡張されることを証明する。さらに、測地的に凸なAHMにおける距離関数の漸近展開を導出し、距離関数が滑らかで、その微分が測地線ベクトル場のラグランジュフローによって記述されることを示す。また、滞在時間は無限遠近傍における主要項の振る舞いを捉えている。

ABSTRACT

We study the scattering relation and the sojourn times on non-trapping asymptotically hyperbolic manifolds and use it to obtain the asymptotics of the distance function on geodesically convex asymptotically hyperbolic manifolds.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間からの古典的散乱枠組みを一般化するために、非捕捉な漸近的双曲的多様体（AHM）における散乱関係を定義・解析すること。
• 二つの境界点を結ぶ測地線に沿った滞在時間関数を拡張し、以前の結果が境界への一方の接近に限られていたのを一般化すること。
• 散乱関係の滑らかさと、余接 bundle 上の測地線ベクトル場のラグランジュフローとの関係を確立すること。
• 散乱関係と滞在時間関数を用いて、測地的に凸なAHMにおける距離関数の漸近展開を導出すること。
• 滞在時間 $ s = r(z,z') + \log \rho_L + \log \rho_R $ が $ X \times_0 X \setminus \text{Diag}_0 $ 上で滑らか関数であることを示し、測地線の幾何学と散乱データを結びつけること。

提案手法

• 測地線フロー $ \exp(tH_p) $ をコスフィアバンドル $ S^*\text{Diag} $ 上で用い、単位速度測地線をパラメトライズするラグランジュ部分多様体 $ \Lambda $ を定義する。
• 微局所解析とファイバー積 $ X \times_0 X $ 上の $ C^\infty $-滑らか構造の理論を適用し、散乱関係を無限遠の境界にまで滑らかに拡張する。
• 滞在時間 $ s = t + \log \rho_L + \log \rho_R $ を導入し、ここで $ t $ は測地線長、$ \rho_L, \rho_R $ は境界定義関数である。これにより散乱データの滑らかな拡張が可能になる。
• 滑らかな定義関数 $ x $ が存在し、$ g = \frac{dx^2}{x^2} + \frac{h(x)}{x^2} $ かつ $ h(0) = h_0 $ を満たすことを前提とし、計量が漸近的双曲的であることを保証する。
• 測地線の指数写像を正規座標で用い、多様体が測地的に凸である場合に全空間で測地線をパラメトライズ可能とし、グローバルなラグランジュ構造の構成を可能にする。
• Sá BarretoとWunsch（2012）の結果を応用し、$ s_\gamma(z',y) = \lim_{t\to\infty}(t + \log \rho(\gamma(t))) $ の極限の存在を一般化し、両端点が境界に近づく場合にまで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非捕捉な漸近的双曲的多様体において、散乱関係は無限遠の境界に滑らかに拡張可能か？
• RQ2 二つの内部点が境界に近づく際、距離関数の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 滞在時間 $ s = r(z,z') + \log \rho_L + \log \rho_R $ は測地線の幾何学と散乱データの間でどのように関係するか？
• RQ4 測地線フローによって生成されるラグランジュ部分多様体 $ \Lambda $ が滑らかで埋め込まれた部分多様体であるための条件は何か？
• RQ5 距離関数の微分は、余接 bundle 内の滑らかなラグランジュ対応のグラフとして記述可能か？

主な発見

• 非捕捉なAHMにおける散乱関係は、無限遠の境界に滑らかに拡張され、$ T^*({\mathbb{R}}_s \times X \times_0 X) $ 内に $ C^\infty $-埋め込みラグランジュ部分多様体を形成する。
• 滞在時間 $ s = r(z,z') + \log \rho_L + \log \rho_R $ は $ X \times_0 X \setminus \text{Diag}_0 $ 上で滑らかな関数であり、無限遠近傍における測地線長の主要項の漸近的挙動を捉えている。
• 測地的に凸なAHMでは、$ \Lambda \setminus S^*\text{Diag} $ が距離関数 $ r(z,z') $ の微分のグラフ、すなわち $ \zeta = d_z r(z,z'), \; \zeta' = -d_{z'} r(z,z') $ として記述される。
• 散乱関係は、フローフルアウト $ \exp(tH_p)S^*\text{Diag} $ を無限遠境界に制限したものとして特徴づけられ、ここで $ t $ は $ s = t + \log \rho_L + \log \rho_R $ に置き換えられる。
• $ \partial({\mathbb{R}}_s \times X \times_0 X) $ への散乱関係の拡張は滑らかで定義されており、$ s $ は基底変数の滑らかな関数である。
• この結果により、散乱行列のシュワーツ核の主要特異項が $ R^{-2i\lambda}H|_{\{\rho_L=\rho_R=0\}} $ に関連することを確認した。ここで $ H $ は $ X \times_0 X $ 上で滑らかであり、微局所解析と散乱理論を結びつける。