[論文レビュー] The Schauder fixed point theorem in random normed modules

Tiexin Guo, Yachao Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2021

Fixed Point Theorems Analysis被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、(ε,λ)-位相および局所L⁰-凸位相の下で、確率的枠組みにおける通常のノルム空間の一般化である確率的ノルム空間モジュール（RNモジュール）において、古典的Schauder不動点定理を一般化する。σ安定なRNモジュールにおいて、確率的逐次コンパクト性と確率的全有界性の同値性を確立することで、任意のσ安定な連続写像が自身の内部にランダム逐次コンパクトな閉L⁰-凸部分集合へ写像する場合に不動点を有することを証明し、既存の確率的不動点定理を統一するとともに、将来の確率的解析およびファイナンス分野への応用を可能にする。

ABSTRACT

Random normed modules (briefly, $RN$ modules) are a random generalization of ordinary normed spaces, whose $L^0$--norm induces two kinds of most useful topologies (called the $(\varepsilon,\lambda)$--topology and the locally $L^0$--convex topology). The purpose of this paper is to generalize the classical Schauder fixed point theorem to $RN$ modules under the two kinds of topologies. Motivated by the randomized version of the classical Bolzano--Weierstrass theorem, we first systematically and deeply study the random sequential compactness under the $(\varepsilon,\lambda)$--topology and random total boundedness under the locally $L^0$--convex topology for a $\sigma$--stable subset of a $\sigma$--stable $RN$ module, establishing the Hausdorff theorem on their equivalence, which allows us to construct the well defined random Schauder projection and countably many decompositions of the mapping in question so that we can prove Schauder fixed point theorem in a $\sigma$--stable $RN$ module, namely every $\sigma$--stable continuous mapping (under either of the two topologies) of a random sequentially compact closed $L^0$--convex subset into itself has a fixed point. The new fixed point theorem both unifies all the random generalizations currently available of the classical Brouwer or Schauder fixed point theorem and meets the need of the future applications of $RN$ modules to stochastic analysis and stochastic finance.

研究の動機と目的

• 確率的枠組みにおける通常のノルム空間の一般化である確率的ノルム空間モジュール（RNモジュール）の文脈において、古典的Schauder不動点定理を拡張すること。
• 特に確率的およびファイナンス的応用を念頭に、RNモジュールにおける包括的な不動点理論の欠如に対処すること。
• σ安定なRNモジュールにおいて、(ε,λ)-位相の下での確率的逐次コンパクト性と、局所L⁰-凸位相の下での確率的全有界性の同値性を確立すること。
• 不動点の存在を証明するため、適切に定義されたランダムSchauder射影と写像の可算分解を構成すること。

提案手法

• σ安定なRNモジュールにおける(ε,λ)-位相および局所L⁰-凸位相を導入・分析し、この文脈で最も有用な二つの位相を特定する。
• σ安定な部分集合に対して、(ε,λ)-位相の下での確率的逐次コンパクト性と、局所L⁰-凸位相の下での確率的全有界性を定義・研究する。
• σ安定なRNモジュールにおいて、確率的逐次コンパクト性と確率的全有界性の同値性を示すHausdorff型定理を確立する。
• ランダムSchauder射影を構成し、写像の可算分解を用いて不動点問題を解ける形に還元する。
• 収束を保証するため、確率的設定において基礎的役割を果たすランダマイズドBolzano–Weierstrass定理を適用する。
• 任意のσ安定な連続写像が、自身の内部にランダム逐次コンパクトな閉L⁰-凸部分集合へ写像する場合、(ε,λ)-位相または局所L⁰-凸位相のいずれの下でも不動点を有することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Schauder不動点定理は、(ε,λ)-位相および局所L⁰-凸位相の下でRNモジュールの文脈に一般化可能か？
• RQ2 σ安定なRNモジュールにおいて、確率的逐次コンパクト性と確率的全有界性の関係は何か？
• RQ3 この確率的枠組みにおいて、適切に定義されたランダムSchauder射影をどのように構成できるか？
• RQ4 RNモジュールの閉L⁰-凸部分集合上でσ安定な連続写像が不動点を有するための条件は何か？
• RQ5 この新しい不動点定理は、既存のBrouwerおよびSchauder定理の確率的一般化をどの程度統合するか？

主な発見

• σ安定なRNモジュールのσ安定部分集合において、(ε,λ)-位相の下での確率的逐次コンパクト性と、局所L⁰-凸位相の下での確率的全有界性の同値性が、厳密に確立された。
• 適切に定義されたランダムSchauder射影が構成され、写像の可算個の取り扱いやすい成分への分解を可能にした。
• 任意のσ安定な連続写像が、自身の内部にランダム逐次コンパクトな閉L⁰-凸部分集合へ写像する場合、(ε,λ)-位相または局所L⁰-凸位相のいずれの下でも不動点を有する。
• この新しい不動点定理は、現在知られているすべての古典的BrouwerおよびSchauder不動点定理の確率的一般化を統合する。
• この結果は、RNモジュールの枠組みにおける将来の確率的解析および確率的ファイナンス分野への応用の基盤的ツールを提供する。
• 証明は、確率的設定における収束を保証するため、Bolzano–Weierstrass定理のランダマイズド版に依拠している。