[論文レビュー] The Schrödinger-Virasoro Lie group and algebra: from geometry to representation theory

Claude Roger, Jérémie Unterberger|ArXiv.org|Jan 24, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、シュレーディンガー代数とヴァイラソロ代数を統合するシュレーディンガー＝ヴァイラソロリー代数 $\mathfrak{sv}$ を導入し、その幾何的・コホモロジー的・表現論的構造を展開する。ヴェルマ加群に対してKacの行列式公式を確立し、表現のグラム行列が上三角行列であることを証明し、その行列式が $\mu$ のべき乗に比例することを示す。さらに、分割の重みから導かれる明示的な指数法則が得られる。

ABSTRACT

This article is concerned with an extensive study of an infinite-dimensional Lie algebra $\mathfrak{sv}$, introduced in the context of non-equilibrium statistical physics, containing as subalgebras both the Lie algebra of invariance of the free Schrödinger equation and the central charge-free Virasoro algebra $Vect(S^1)$. We call $\mathfrak{sv}$ the Schrödinger-Virasoro algebra. We choose to present $\mathfrak{sv}$ from a Newtonian geometry point of view first, and then in connection with conformal and Poisson geometry. We turn afterwards to its representation theory: realizations as Lie symmetries of field equations, coadjoint representation, coinduced representations in connection with Cartan's prolongation method (yielding analogues of the tensor density modules for $Vect(S^1)$), and finally Verma modules with a Kac determinant formula. We also present a detailed cohomological study, providing in particular a classification of deformations and central extensions; there appears a non-local cocycle.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー代数とヴァイラソロ代数の統合として、リー代数 $\mathfrak{sv}$ を構成・解析すること。
• $\mathfrak{sv}$ の幾何的・コホモロジー的構造（変形および中心拡大を含む）を調査すること。
• 表現論を発展させ、共誘導表現およびヴェルマ加群を含み、Kacの行列式公式を導出すること。
• 表現におけるグラム行列の構造を確立し、それが上三角行列であること、およびその行列式を計算すること。

提案手法

• リー代数 $\mathfrak{sv}$ は、ヴァイラソロ代数とヘイゼンベルク型代数の半直積として構成され、時間および空間の対称性を統合する。
• 幾何的量子化およびニュートン＝カルタン幾何学を用いて、$\mathfrak{sv}$ を非相対論的場方程式の文脈で解釈する。
• 随伴表現およびカルタンの延長法を用いて、テンソル密度モジュールに類似した共誘導表現を構成する。
• ヴェルマ加群を $\mathfrak{sv}$ 上で定義し、グラム行列の構造を用いてKacの行列式公式を導出する。
• 分割の次数および重みの条件を用いてグラム行列 $\mathcal{A}_n$ を分析し、上三角性を導く。
• 行列式 $\Delta_n^{\mathfrak{sv}}$ は対角成分の積として計算され、$\Delta_n^{\mathfrak{sv}} = c_n \mu^{a_n}$ となる。ここで $a_n$ は分割の重みによって明示的に定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー＝ヴァイラソロリー代数 $\mathfrak{sv}$ を、シュレーディンガー代数とヴァイラソロ代数の統合として体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 $\mathfrak{sv}$ のコホモロジー的構造、特に変形および中心拡大（非局所コサイクルの存在を含む）はいかなるものか？
• RQ3 共誘導表現およびヴェルマ加群を含む $\mathfrak{sv}$ の表現論的構造は、ヴァイラソロ代数のそれらをどのように一般化するか？
• RQ4 $\mathfrak{sv}$ の表現におけるグラム行列の構造は何か？ そして、Kacの行列式を決定づける要因は何か？
• RQ5 パrameter $\mu$ および分割の重みを用いて、行列式 $\Delta_n^{\mathfrak{sv}}$ の明示的形はどのように表されるか？

主な発見

• 表現に付随するグラム行列 $\mathcal{A}_n$ が上三角行列であることが証明され、次数および重みの制約により、すべての下三角成分が消える。
• $\deg(C_2) < \deg(C_1)$ または $\deg(A_1) < \deg(A_2)$ の場合、下三角成分は消える。これは、補題6.6 (i) で示されている。
• 準対角成分およびそれ以上の高次の対角成分は、$M$-モードと$L$-モードの直交性により消える。これは、補題6.1および補題6.4による。
• $\mathcal{A}_n$ の対角成分は、$\mu^{\mathrm{wid}(A) + \mathrm{wid}(B) + \mathrm{wid}(C)}$ に比例し、合計指数 $a_n$ は与えられた次数の分割の和として計算される。
• Kacの行列式 $\Delta_n^{\mathfrak{sv}}$ は $c_n \mu^{a_n}$ に等しい。ここで $c_n$ は非ゼロ定数であり、$a_n$ は分割の重みおよびヴァイラソロ部分代数からの再帰的寄与を含む。
• 表現の構造および内積における基底ベクトルの直交性を用いて、行列式の公式が再帰的に導出される。