[論文レビュー] The Schreier continuum and ends

Alex Clark, Robbert Fokkink+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、群の作用を表現する有限グラフの位相的逆極限としてのシュライエル連結体を用いて弱ソリノイドを構成し、コンパクトで最小な葉層付き空間が、1本の端を持つ残渣的集合の葉、非可算な殆ど至るところの葉、および任意の n > 1 に対して 2n 個の端を持つ単一の葉を有することを示す。この手法は自己相似群作用を超えて一般化可能であり、被覆の逆極限における組合せ的力学を用いて端構造を制御可能である。

ABSTRACT

Blanc showed in his thesis that a compact minimal foliated space with a residual subset of 2-ended leaves can contain only 1 or 2 ended leaves. In this paper we give examples of compact minimal foliated spaces where a topologically generic leaf has 1 end, there is an uncountable set of leaves with 2 ends and a leaf with 2n ends, for a given n>1. The examples we present are weak solenoids, which allows us to represent the graph of the group action on the fibre as the inverse limit of finite coverings of a finite graph, which we call the Schreier continuum, which we use to obtain the result. While in certain cases the problem can be reduced to the study of a self-similar action of an automorphism group of a regular tree, our geometric technique is more general, as it applies to cases where the action is not self-similar.

研究の動機と目的

• 残渣的集合の葉が1端であるが、非可算に多くの2端葉を含むコンパクトで最小な葉層付き空間を構成すること。
• 2端葉が一般な場合のブランシュの結果を、1端葉が一般な場合に拡張し、2n 個の有限端数が生じうることを示すこと。
• 自己相似性を要件としない、シュライエル連結体を用いた幾何的手法を開発し、弱ソリノイドにおける端構造を分析すること。
• トポロジー的一般性（残渣性）が、調和測度の下で測度論的一般性を意味するかどうかを検討し、葉層動力学における基礎的問題に答えること。

提案手法

• 葉のホロノミー・グラフを、有限グラフの有限被覆の逆極限として表現し、シュライエル連結体を構成する。
• 基本群の作用に伴う陪集合空間のシュライエル図を用いて、葉の端構造を分類する。
• 逆極限空間内のパス成分を、逆系の各段階における有限グラフへの射影によって分析する。
• シュライエル図の頂点の挙動に基づき、葉の種別を判別する：2端葉に対応する2進点、1端葉に対応するフラップ・フロッピング点、および非2進点。
• 分岐が制御された非正則被覆を用いて、ショリのソリノイドを変形することで例を構成する。
• 残渣性、殆ど至るところ性、非可算性といったトポロジー的および力学的基準を用いて、端数ごとに葉の集合を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで最小な葉層付き空間が、1本の端を持つ残渣的集合の葉を有し、非可算に多くの2端葉と、任意の n > 1 に対して 2n 個の端を持つ単一の葉を含むことは可能か？
• RQ2 弱ソリノイドにおける1端葉のトポロジー的一般性（残渣性）は、調和測度の下で測度論的一般性を意味するか？
• RQ3 シュライエル連結体手法は、自己相似でない群作用に対しても、弱ソリノイドにおける端構造の分析に適用可能か？
• RQ4 モノドロミー表現は、弱ソリノイドにおける葉の端数を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の n > 1 に対して、1端葉の集合が残渣的であり、2端葉の集合が非可算かつ殆ど至るところであり、かつ正確に1つの葉が2n 個の端を持つ弱ソリノイド X_n が存在する。
• シュライエル連結体は、葉のホロノミー・グラフの位相的表現を提供し、本質的な力学的性質を保持するとともに、有限グラフの逆極限を用いた端構造分析を可能にする。
• この手法は自己相似群作用を超えて適用可能であり、被覆上の非自己相似モノドロミー作用を持つソリノイドの解析を可能にする。
• シュライエル連結体内の2進点は、正確に2つの端を持つ葉に対応し、フラップ・フロッピング点および非2進点は1端葉に対応する。
• 分岐が制御された非正則被覆を導入することで、ショリのソリノイドの構成を一般化し、端数の正確な制御を可能にする。
• 結果として、1端葉のトポロジー的一般性（残渣性）が、必ずしも調和測度におけるほとんど至るところの性質を意味するとは限らないことが示され、残渣性が調和測度のほとんど至るところの挙動を意味するかどうかは未解決のまま残されている。