[論文レビュー] The Schrodinger picture for open quantum dynamics

Thomas F. Jordan, Anil Shaji+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2005

Quantum Information and Cryptography被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間のハミルトニアンから直接密度行列の時間発展を導出することで、開量子系のダイナミクスに対するアフィン形式を構築する。この形式では、状態に依存しないダイナミクスと状態に依存する寄与を分離する。アフィン写像の同次部分は完全正値であり、合成系のハミルトニアンに起因するが、この部分が正確に消えるのは、写像が任意の密度行列の二乗のトレースを保存する場合に限る。2キュービット系の例で示されている。

ABSTRACT

For systems described by finite matrices, an affine form is developed for the maps that describe evolution of density matrices for a quantum system that interacts with another. This is established directly from the Heisenberg picture. It separates elements that depend only on the dynamics from those that depend on the state of the two systems. While the equivalent linear map is generally not completely positive, the homogeneous part of the affine maps is, and is shown to be composed of multiplication operations that come simply from the Hamiltonian for the larger system. The inhomogeneous part is shown to be zero if and only if the map does not increase the trace of the square of any density matrix. Properties are worked out in detail for two-qubit examples.

研究の動機と目的

• 開量子系のダイナミクス写像をシュレーディンガー図式ではなくヘイゼンベルク図式から導出すること。
• 有限次元系において、ダイナミクスを状態に依存しない部分と状態に依存する部分に分離すること。
• アフィン写像の非同次部分が消える条件を特定すること。
• アフィン写像の同次部分が完全正値であり、大きな系のハミルトニアンに起因することを示すこと。
• 具体的な2キュービット系の例を通じて、写像の構造と性質を分析すること。

提案手法

• 有限次元系に対して、ヘイゼンベルク図式を用いて密度行列の時間発展を導出する。
• 発展写像をアフィン形式で表現し、同次部分と非同次部分に分解する。
• 同次部分が合成系のハミルトニアンに起因することを特定し、完全正値性を保証する。
• 非同次部分が、任意の密度行列の二乗のトレースを保存する場合にかつその場合にのみゼロになることを示す。
• 具体的な2キュービットモデルを用いてアフィン写像の構造を分析し、その性質を図示する。
• 全アフィン写像が線形でないにもかかわらず、線形部分が完全正値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開量子系のシュレーディンガー図式の時間発展を、直接的にヘイゼンベルク図式からどのように導出できるか。
• RQ2 ダイナミクス写像が状態に依存しない部分と状態に依存する部分にどのように分解できるか。
• RQ3 アフィン写像の非同次部分が消える条件は何か。
• RQ4 なぜ写像の同次部分が完全正値であり、どのように合成系のハミルトニアンと関係しているか。
• RQ5 アフィン写像の性質は、具体的な2キュービット系においてどのように現れるか。

主な発見

• 開量子ダイナミクスのアフィン写像がヘイゼンベルク図式から直接導出され、系-環境系の時間発展に対する新たな視点を提供する。
• アフィン写像の同次部分は完全正値であり、合成系のハミルトニアンによって生成されるユニタリ操作に対応する。
• 非同次部分がゼロになるのは、写像が任意の密度行列の二乗のトレースを保存する場合にかつその場合に限る。
• 写像の構造により、系のハミルトニアンにのみ依存するダイナミクスと、環境の初期状態に影響を受けるダイナミクスが明確に分離される。
• 2キュービットの例では、アフィン形式がユニタリ寄与と非ユニタリで状態に依存する補正を明確に区別する。
• 全アフィン写像が線形でないにもかかわらず、線形部分は完全正値であり、開系ダイナミクスにおける主要な整合性問題が解消される。