[論文レビュー] The Schrodinger picture of standard cosmology

Nandinii Barbosa-Cendejas, M. Reyes|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、定数項を含む平坦なFRW宇宙におけるスカラー場の力学を、時間に依存しない1次元量子力学的シュレーディンガー方程式に写像することにより、標準的宇宙論における新しいシュレーディンガー図式を提案する。ハッブルパラメータとスカラー場の時間発展を量子束縛状態の波動関数として再解釈することで、調和振動子などの正確に解ける量子力学的ポテンシャルが、標準的インフレーションモデルに類似した正確な宇宙論的解を生み出すことを示しており、宇宙定数は量子基底状態エネルギーと直接関連している。

ABSTRACT

We consider a time independent Schrodinger type equation derived from the equations of motion that drives a single scalar field in a standard cosmology model for inflation in a flat space-time with a Friedman-Robertson-Walker (FRW) metric with a cosmological constant. We find that all the 1-dimensional bound state solutions of quantum mechanics lead to at least one exact solution for the dynamical equations of standard cosmology, and that these solutions resemble the most recurrent inflationary solutions found in the literature. The analogies derived from this approach may be used to realize a deeper understanding of the dynamics of the model.

研究の動機と目的

• FRW宇宙論におけるスカラー場インフレーションの力学と定常的量子力学的系との間の形式的類似性を確立すること。
• インフレーションモデルにおけるスカラー場ポテンシャルに対して正確な解を導出する体系的な手法の欠如に応えること。
• 既知の正確に解ける1次元量子力学的問題が、物理的に意味のある宇宙論的解を生成できるかどうかを調査すること。
• この枠組みにおいて、宇宙定数が量子力学的エネルギー固有値から自然に導かれることを示すこと。

提案手法

• スカラー場の波動関数 ψ(t) の変換によりハッブルパラメータ H(t) を定義する。具体的には H(t) = (1/3) d/dt [ln ψ(t)] と定義する。
• H(t) のリッカティ方程式を線形シュレーディンガー型方程式に変換する：[−d²/dt² + 3V(t)]ψ(t) = −3Λψ(t)。
• スカラー場ポテンシャル V(ϕ) を量子ポテンシャル U(x) に写像し、宇宙定数 Λ を量子基底状態エネルギー E₀ に写像する。関係式は 3V(ϕ) + 3Λ ↔ 2U(x) − 2E₀ である。
• 既知の量子力学的束縛状態解（例：調和振動子）を ψ(t) として用い、導出された変換式により時間依存的 H(t) と ϕ(t) を生成する。
• 量子ポテンシャルとエネルギー固有値からスカラー場ポテンシャル V(ϕ) を導出し、調和振動子の場合には V(ϕ) = λϕ² が得られることを示す。
• 異なるエネルギー領域における解の振る舞いを分析し、束縛状態（再収縮宇宙に至る）と非束縛状態（永遠に膨張し続ける宇宙に至る）を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インフレーション宇宙論の力学を、時間に依存しないシュレーディンガー方程式として再定式化できるか？
• RQ2 正確に解ける1次元量子力学的問題がすべて、スカラー場およびハッブルパラメータに対して正確な宇宙論的解を生み出すか？
• RQ3 この枠組みにおいて、宇宙定数 Λ は量子力学的エネルギー固有値とどのように関係するか？
• RQ4 宇宙論的エネルギー密度および体積の時間発展の文脈において、波動関数 ψ(t) の物理的解釈は何か？
• RQ5 インフレーションにおけるスローロール近似は、対応する量子力学的問題におけるWKB近似として理解できるか？

主な発見

• 宇宙論的リッカティ方程式から導かれたシュレーディンガー型方程式は、ハッブルパラメータが量子束縛状態の波動関数から構成される場合に正確な解を許容する。
• 量子力学における調和振動子ポテンシャルに対応する宇宙論的スカラー場ポテンシャルは V(ϕ) = λϕ² であり、λ = ω/2 である。宇宙定数は Λ = −2λ/3 である。
• 量子調和振動子の基底状態解は、時間変化するハッブルパラメータ H(t) = −(ω/3)t を与え、t → ∞ でスケール因子が0に収束することから、再収縮宇宙を示唆する。
• インフレーションにおけるスローロール近似は、量子力学的問題におけるWKB近似に対応し、深い動的類似性を確立する。
• 非束縛状態（E < E₀ または E₀ < E < E₁）はスケール因子 a(t) が発散するか振動するが、物理的で永遠に膨張する宇宙（すべての t で a(t) > 0）を生成するのは、最低エネルギーの非束縛状態（E < E₀）に限られる。
• 宇宙定数は量子基底状態エネルギーによって決定され、その符号は対応する量子問題によって固定される。これにより、真空エネルギーと宇宙膨張の間の直接的な関係が確立される。