[論文レビュー] The Schur-Horn theorem in von Neumann algebras

Mohan Ravichandran|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、型 $II_1$ 因子におけるアーヴェソンとカジソンのシュール＝ホーン予想を証明し、von ネウマン代数内の任意の正規作用素 $S$ とマサ $τ$ 内の正の要素 $A$ に対して、$A$ が $S$ のユニタリ共役の対角であるための必要十分条件は、$A$ が $S$ に大きく整列されていることであることを確立した。この結果は、型 $II_\infty$ および型 $III$ 因子へと拡張され、無限大トレースの場合には追加のスペクトル的条件が要求される。

ABSTRACT

A few years ago, Richard Kadison thoroughly analysed the diagonals of projection operators on Hilbert spaces and asked the following question: Let $\mathcal{A}$ be a masa in a type $II_1$ factor $\mathcal{M}$ and let $A \in \mathcal{A}$ be a positive contraction. Letting $E$ be the canonical normal conditional expectation from $\mathcal{M}$ to $\mathcal{A}$, can one find a projection $P \in \mathcal{M}$ so that [E(P) = A?] In a later paper, Kadison and Arveson, as an extension, conjectured a Schur-Horn theorem in type $II_1$ factors. In this paper, I give a proof of this conjecture of Arveson and Kadison. I also prove versions of the Schur-Horn theorem for type $II_{\infty}$ and type $III$ factors as well as finite von Neumann algebras.

研究の動機と目的

• 型 $II_1$ 因子におけるマサ内に所望の対角を持つ射影の存在に関する、長年のアーヴェソンとカジソンの予想を解決すること。
• 有限次元行列や型 $II_1$ 因子を超えて、型 $II_\infty$ および型 $III$ 因子に対してもシュール＝ホーン定理を拡張すること。
• 与えられた正規作用素 $S$ のユニタリ共役の対角として、マサ内の正の要素 $A$ が実現可能であるための必要十分条件を、さまざまなフォン・ノイマン代数の型において特定すること。
• 無限大トレース設定において、主に本質的スペクトルが果たす役割を明確にし、特に、単なる大きく整列することだけでは不十分であることを明らかにすること。

提案手法

• マサへの標準的条件付期待値 $E$ を用いて、$A \prec S$ ならば $T \in \mathcal{O}(S)$ が存在して $E(T) = A$ となることを示すことにより、型 $II_1$ 因子におけるシュール＝ホーン定理を証明する。
• 有限スペクトルの場合の予想の解決を基に、カットアンドペーストの技法を用いて、$II_\infty$ 因子内の一般の正規作用素へと結果を拡張する。
• $II_\infty$ 因子におけるコンパクト理想に関する作用素の挙動を分析するため、一般化されたカリン代数と本質的スペクトルを導入する。
• 型 $III$ 因子に対し、ユニタリ軌道のノルム閉包におけるスペクトル的条件を分析することで、$II_1$ 場合の証明戦略を適応する。
• 中心値付きトレースと直接積分解釈を用いて、型 $II_1$ の有限フォン・ノイマン代数へと結果を一般化する。
• 対角実現可能性とスペクトル包含の同値性を確立する：$\sigma(A) \subset \operatorname{conv}(\sigma(S))$ であり、かつ、作用素ノルムおよびスペクトル下限におけるスペクトル点が保存されること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型 $II_1$ 因子 $\mathcal{M}$ のマサ $\mathcal{A}$ 内の任意の正の要素 $A$ は、与えられた正規作用素 $S$ のユニタリ軌道のノルム閉包に属するある $T$ の対角 $E(T)$ として実現可能か？
• RQ2 型 $II_\infty$ 因子において、シュール＝ホーン性質が成り立つために、大きく整列する条件に加えて、どのような追加のスペクトル的条件が必要か？
• RQ3 本質的スペクトルの構造は、$II_\infty$ 因子および $III$ 因子における対角の実現可能性にどのように影響するか？
• RQ4 有限フォン・ノイマン代数の型 $II_1$ においてシュール＝ホーン定理は成立するか？また、中心値付きトレースはその特徴付けにどのように寄与するか？
• RQ5 型 $III$ 因子において、ユニタリ軌道のノルム閉包とSOT閉包の関係は何か？そして、これによりシュール＝ホーン性質にどのような影響を与えるか？

主な発見

• アーヴェソンとカジソンのシュール＝ホーン予想は完全に解決された：任意の型 $II_1$ 因子内の正規作用素 $S$ とマサ $\mathcal{A}$ 内の正の要素 $A$ に対して、$A \prec S$ であるための必要十分条件は、$T \in \mathcal{O}(S)$ が存在して $E(T) = A$ となることである。
• 型 $II_\infty$ 因子では、$A \prec S$ は $A$ が $\mathcal{O}(S)$ 内の $T$ の対角であるための必要条件ではあるが十分ではない。$A$ と $S$ の本質的点スペクトルに関する追加条件が必要である。
• 型 $II_\infty$ 因子において、$||\sigma_e(A)|| = ||\sigma_e(S)||$ であり、かつこのノルムが $A$ の本質的点スペクトルに属するならば、$S$ の本質的点スペクトルにも属する必要がある。
• 型 $III$ 因子では、シュール＝ホーン定理が成り立つための必要十分条件は、$\sigma(A) \subset \operatorname{conv}(\sigma(S))$ であり、かつ $||S||$ および $\alpha(S)$ におけるスペクトル点が $A$ に存在する場合には $S$ に対しても保存されていることである。
• 直接積分解釈と中心値付きトレースを用いて、型 $II_1$ の有限フォン・ノイマン代数へと結果を拡張でき、$E(\mathcal{O}(S)) = \{A \in \mathcal{A} \mid A \prec S\}$ が成り立つ。
• 型 $III$ 因子では、ユニタリ軌道のノルム閉包はSOT閉包よりも厳密に小さい。シュール＝ホーン条件は、スペクトル包含および点スペクトルの保存に依存する。