[論文レビュー] The Schwinger Action Principle and the Feynman Path Integral for Quantum Mechanics in Curved Space

David J. Toms|ArXiv.org|Nov 25, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、シュヴィンガー作用原理との整合性を要請することによって、曲がった多様体上の量子力学におけるファインマン経路積分の測度の曖昧さを解消し、測度に自然な体積要素とヴァン・ヴレック＝モレット行列式の1つの因子が含まれることを示している。この選択により、シュレーディンガー方程式への曲率依存の修正が排除され、確率的微分方程式の手法による結果と整合する。

ABSTRACT

The Feynman path integral approach to quantum mechanics is examined in the case where the configuration space is curved. It is shown how the ambiguity that is present in the choice of path integral measure may be resolved if, in addition to general covariance, the path integral is also required to be consistent with the Schwinger action principle. On this basis it is argued that in addition to the natural volume element associated with the curved space, there should be a factor of the Van Vleck-Morette determinant present. This agrees with the conclusion of an approach based on the link between the path integral and stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 曲がった多様体上の量子力学における経路積分測度の曖昧さを解消すること。
• 一般共変性を超えてシュヴィンガー作用原理との整合性を要請することによって、一意な測度を確立すること。
• ヴァン・ヴレック＝モレット行列式が測度に指数 p=1 で現れる必要があることを示すこと。
• この選択が、明示的な曲率補正のないシュレーディンガー方程式を導くこと。
• 曲がった空間における経路積分と確率的微分方程式の手法の結果を統合すること。

提案手法

• 変分と作用、および運動変数に関する不変性を要請することで、遷移振幅をシュヴィンガー作用原理を用いて導出する。
• 源項を導入し、経路積分表現を用いて、作用と源項で表された振幅を導出する。
• σ^i から q^i への変数変換を行い、ヴァン・ヴレック＝モレット行列式を含むヤコビアン行列式を組み込む。
• ヴァン・ヴレック＝モレット行列式 Δ(q_*,q) の定義を用いて、測度を計量および測地距離の2階微分で表す。
• 座標変換における不変性を強制することで、前因子を制約し、最終的な測度形を導出する。
• 得られた経路積分測度が、|g(q)|^{1/2} と |Δ(q_*,q)| を含み、p=1 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般共変性とシュヴィンガー作用原理の両方に整合する、曲がった多様体上の量子力学における一意な経路積分測度は何か？
• RQ2 配置空間が曲がっているとき、シュヴィンガー作用原理は経路積分における測度の選択をどのように制約するか？
• RQ3 なぜヴァン・ヴレック＝モレット行列式が経路積分測度に現れるのか？また、この行列式の正しい指数は何か？
• RQ4 指数 p=1 でヴァン・ヴレック＝モレット行列式を含めることで、得られるシュレーディンガー方程式における曲率補正が排除されるか？
• RQ5 シュヴィンガー作用原理の手法と確率的微分方程式法は、経路積分測度を固定する点でどのように比較できるか？

主な発見

• 経路積分測度には、自然な体積要素 |g(q)|^{1/2} と、ヴァン・ヴレック＝モレット行列式 |Δ(q_*,q)| の1つの因子が含まれるべきである。
• シュヴィンガー作用原理との整合性を要請することによって、ヴァン・ヴレック＝モレット行列式の指数が一意に p=1 に固定される。
• この選択により、明示的な曲率補正のないシュレーディンガー方程式が得られ、WKB法および確率的アプローチと一致する。
• シュヴィンガー作用原理から導かれた遷移振幅は、|Δ(q_*,q)| を含む完全な測度が使われている場合にのみ、標準的な経路積分形式と一致する。
• |g(q_*)|^{-1/2}f(q_*) はスカラーであり、定数として吸収可能であり、物理的測度に影響を与えない。
• この結果は、確率過程に基づく別手法で導かれた同一の測度と整合しており、参照文献 stochastic の結論を支持する。