[論文レビュー] The Search for the Origins of M Theory : Loop Quantum Mechanics, Loops/Strings and Bulk/Boundary Dualities

Carlos Castro|ArXiv.org|Sep 15, 1998

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、8×8反対称行列から構成される11次元のカテゴリカルC空間における共変なループ量子力学の枠組みを提案し、ループ、ストリング、およびボリューム/境界双対性を統一する。C空間における共変性を強制し、プランク長さをスケーリングパラメータとして導入することで、時空トポロジーの変化とホログラフィー原理が導かれる。SU(∞)ゲージ理論の真空波動関数がループ波動方程式を満たすことで、M理論の原理が幾何学的起源を持つことが示唆される。

ABSTRACT

The construction of a $covariant$ Loop Wave functional equation in a 4D spacetime is attained by introducing a generalized $eleven$ dimensional categorical {\bf C}-space comprised of $8 imes 8$ antisymmetric matrices. The latter matrices encode the generalized coordinates of the histories of points, loops and surfaces $combined$. Spacetime Topology change and the Holographic principle are natural consequences of imposing the principle of $covariance$ in {\bf C}-space. The Planck length is introduced as a necessary rescaling parameter to establish the correspondence limit with the physics of point-histories in ordinary Minkowski space, in the limit $l_P o 0$. Spacetime quantization should appear in discrete units of Planck length, area, volume ,....All this seems to suggest that the generalized principle of covariance, representing invariance of proper $area$ intervals in {\bf C}-space, under matrix-coordinate transformations, could be relevant in discovering the underlying principle behind the origins of $M$ theory. We construct an ansatz for the $SU(\infty)$ Yang-Mills vacuum wavefunctional as a solution of the Schroedinger Loop Wave equation associated with the Loop Quantum Mechanical formulation of the Eguchi-Schild String . The Strings/Loops ($SU(\infty)$ gauge field) correspondence implements one form of the Bulk/Boundary duality conjecture in this case.

研究の動機と目的

• 高次元のカテゴリカル空間におけるループ量子力学の共変形式化を開発すること。
• 点の歴史、ループ、表面を一つの幾何学的枠組みで統一的に記述すること。
• C空間における共変性から、時空トポロジーの変化とホログラフィー原理がどのように生じるかを明らかにすること。
• ボリューム/境界双対性を通じて、ループ量子力学とM理論を結びつけること。
• この形式主義において、プランクスケールが離散的な量子化単位としてどのように導かれるかを導出すること。

提案手法

• 点、ループ、表面の歴史の一般化座標をエンコードする8×8反対称行列から構成される11次元のカテゴリカルC空間を導入する。
• C空間における共変性を、行列座標変換に対する不変性、特に正しい面積区間の保存として定義する。
• プランク長さをスケーリングパラメータとして導入し、l_P → 0 の極限でミンコフスキー時空の古典的極限を回復する。
• シュレーディンガーのループ波動方程式の解として、SU(∞)ゲージ理論の真空波動関数のアンザッツを構築する。
• SU(∞)ゲージ場を通じてストリングとループの対応関係を確立し、ボリューム/境界双対性の形式を実現する。
• C空間における共変性原理の自然な帰結として、時空トポロジーの変化とホログラフィー原理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元のカテゴリカル空間における共変なループ量子力学の形式化は、どのように構築可能か？
• RQ2 C空間におけるどの幾何学的構造が、自然に時空トポロジーの変化とホログラフィー原理を生じさせるか？
• RQ3 この枠組みにおいて、プランク長さはどのように時空量子化の離散的単位として導かれるか？
• RQ4 SU(∞)ゲージ理論の真空波動関数は、どのようにしてループ/ストリング対応関係を実現するか？
• RQ5 提案されたC空間形式主義は、どのようにしてボリューム/境界双対性の形式を実現するか？

主な発見

• C空間における一般化された共変性の原理、特に行列変換下での正しい面積区間の不変性が、M理論の基礎をなす基本的原理であると提唱される。
• 時空トポロジーの変化とホログラフィー原理は、C空間における共変性構造から自然に生じる。余計な仮定は不要である。
• プランク長さは、ミンコフスキー時空における点の歴史の古典的極限を回復するための必須のスケーリングパラメータであると特定される。
• SU(∞)ゲージ理論の真空波動関数は、ループ波動方程式の解として構築され、エグッチ・シルドのストリングの量子状態を提供する。
• ストリングとループの対応関係は、SU(∞)ゲージ場を通じて実現され、ボリューム/境界双対性の形式が実装される。
• 時空の量子化が、プランク長さ、面積、体積、およびそれ以上の次元の類似物の離散的単位で発生することが示される。