[論文レビュー] The Second Boundary Value Problem for a Discrete Monge-Ampere Equation

Gerard Awanou|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Geometry and complex manifolds被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、上位グラフの漸近的錐を用いた離散的下微分と凸拡張を用いて、Monge-Ampère方程式の第二境界値問題に対する新しい有限差分離散化を提案する。この手法は、解の存在、一意性、安定性を保証し、適切な条件下で連続解への収束が証明されている。

ABSTRACT

In this work we propose a discretization of the second boundary condition for the Monge-Ampere equation arising in geometric optics and optimal transport. The discretization we propose is the natural generalization of the popular Oliker-Prussner method proposed in 1988. For the discretization of the differential operator, we use a discrete analogue of the subdifferential. Existence, unicity and stability of the solutions to the discrete problem are established. Convergence results to the continuous problem are given.

研究の動機と目的

• 最適輸送および幾何光学に現れるMonge-Ampère方程式の第二境界値問題に対する一貫性があり、安定な有限差分離散化を構築すること。
• Oliker-Prussner法を一般化し、下微分の離散的類似と漸近的錐による凸拡張を組み込むこと。
• 上位グラフの漸近的錐が、ターゲット領域の多角形近似と一致するように制約を課すことにより、離散解が第二境界条件を満たすようにすること。
• 離散解の存在、一意性、安定性を確立し、連続なAleksandrov解への収束を証明すること。

提案手法

• 直交グリッドを用い、Ωh 上に関数 uh を定義し、Ω∗ の多角形近似 Y の双対頂点を用いた式により値を拡張する。
• ステンシル V(x) ⊂ Zd \ {0} を用いて定義される離散的下微分 ∂V uh(x) を用い、離散Monge-Ampère作用素を ωV(R, uh, x) = ∫∂V uh(x) R(p) dp と定義する。
• kΩ∗ を Ω∗ のゲージ関数とするとき、v∞ と kΩ∗ の下界畳み込みを用いて uh を Rd に凸拡張し、上位グラフの漸近的錐が KΩ∗ と一致するように保証する。
• x ∈ Ωh に対して ωV(R, uh, x) = h d f(x) を解き、境界値を uh(x) = min_{y∈∂Ωh} max_{1≤j≤N} (x−y)·a∗j + uh(y) と定める。
• 上位グラフと後退錐の理論を用いて、拡張関数の漸近的錐が KΩ∗ に等しいことを示し、これはターゲット領域 Ω∗ に対応する。
• 下界畳み込みや適切な凸関数の性質といった解析的道具を用い、離散解が適切に拡張され、第二境界条件を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Monge-Ampère方程式の第二境界値問題に対して、連続問題の幾何的構造を保った一貫性のある有限差分スキームを構築できるか？
• RQ2 従来、実装が困難であった第二境界条件を、凸解析と漸近的錐を用いて離散スキームに自然に組み込む方法は何か？
• RQ3 Monge-Ampère方程式の第二境界条件を伴う文脈において、離散解の存在、一意性、安定性を保証する条件は何か？
• RQ4 メッシュサイズ h → 0 のとき、提案スキームは連続なAleksandrov解に収束するか？

主な発見

• 離散Monge-Ampère作用素は、離散的下微分上での積分を用いて定義され、連続測度密度と一貫性を持つ。
• 離散解は、上位グラフの漸近的錐が Ω∗ の多角形近似 Y と一致するように制約を課す凸拡張式を用いて構築され、結果として第二境界条件が満たされる。
• f > 0 かつ f ∈ C(Ω) であるという仮定の下で、離散解の存在、一意性、安定性が厳密に確立される。
• 適切な正則性および適合性条件のもとで、メッシュサイズ h → 0 のとき、離散解が連続なAleksandrov解に収束することが証明される。
• 漸近的錐と下界畳み込みを用いた幾何的に一貫した境界処理を組み込むことで、Oliker-Prussnerスキームが一般化される。
• 拡張の正当性の解析的証明は、下界畳み込みと下微分の局所性に依拠し、∂v((eS)◦) ⊂ Ω∗ が、拡張が eS 上で v と一致するための必要十分条件であることを示している。