[論文レビュー] The second moment theory of families of L-functions

Valentin Blomer, Étienne Fouvry+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 56被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、固定された尖点形式の、素数 q を法とする原始的ディリクレ指標による捩れの族において、中心 L-値の第一および第二の捩れモーメントについて、べき乗-saving の誤差項を伴う漸近公式を確立する。解析的整数論の高度な道具—トレース関数、クロスターマン和、およびレゾネータ法—を用いて、これらの中心 L-値の正の割合が非ゼロであることを証明し、一部の値が極めて大きくなること、および高い解析的ランクを取る確率が指数的に減少することを示す。これらの結果は L-関数理論における重要な予想を確認し、Mazur と Rubin によるモジュラー記号に関する予想の特殊な場合を検証する。

ABSTRACT

For a fairly general family of L-functions, we survey the known consequences of the existence of asymptotic formulas with power-sawing error term for the (twisted) first and second moments of the central values in the family. We then consider in detail the important special case of the family of twists of a fixed cusp form by primitive Dirichlet characters modulo a prime q, and prove that it satisfies such formulas. We derive arithmetic consequences: - a positive proportion of central values L(f x chi, 1/2) are non-zero, and indeed bounded from below; - there exist many characters chi for which the central L-value is very large; - the probability of a large analytic rank decays exponentially fast. We finally show how the second moment estimate establishes a special case of a conjecture of Mazur and Rubin concerning the distribution of modular symbols.

研究の動機と目的

• L-関数の族、特に固定された尖点形式の捩れヘッケ L-関数の第二モーメント理論を構築すること。
• 素数 q を法とする原始的ディリクレ指標による捩れの族において、中心 L-値の第一および第二の捩れモーメントについて、べき乗-saving の誤差項を伴う漸近公式を確立すること。
• これらのモーメント推定から算術的帰結を導出すること。非ゼロ性、極値の境界、解析的ランクの制御を含む。
• 第二モーメント推定を用いて、Mazur と Rubin によるモジュラー記号の分布に関する予想の特殊な場合を検証すること。

提案手法

• トレース関数およびそのメリン変換の理論を応用し、族における捩れ L-値を分析する。
• レゾネータ法を用いて中心 L-値を増幅し、極大値を検出する。精密に構築されたレゾネータ多項式に依存する。
• 明示公式を用いて L-関数のモーメントを算術的関数およびトレース関数の和に結びつける。
• シフトされた畳み込み法およびクロスターマン和の二重和を用いて、モーメント推定における誤差項を制御する。
• トレース関数の等分布性およびメリン変換の等分布群を用いて、振動的和を処理する。
• モリフィケーション技法を用いて、中心 L-値の正の割合の非ゼロ性を証明する。適切に選ばれたモリフィケーターを用いて主要項を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 q を法とする原始的ディリクレ指標による固定された尖点形式の捩れの族において、中心 L-値の第一および第二の捩れモーメントの漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 中心 L-値 L(f ⊗ χ, 1/2) の正の割合が非ゼロであり、むしろゼロから下限されうるかどうかを証明できるか？
• RQ3 族内の個々の指標 χ に対して、中心 L-値 L(f ⊗ χ, 1/2) はどれほど大きくなることができるか？
• RQ4 解析的ランク rkan(f ⊗ χ) の分布はどのようなものか？また、大きなランクを取る確率はどれほど速く減少するか？
• RQ5 第二モーメント推定は、モジュラー記号の分布に関する Mazur-Rubin 予想の特殊な場合を示唆するか？

主な発見

• 中心 L-値 L(f ⊗ χ, 1/2) の正の割合が非ゼロであり、q に対して一様にゼロから下限され、その割合はゼロから離れている。
• 中心 L-値 L(f ⊗ χ, 1/2) が非常に大きくなるような指標 χ が存在し、その大きさは log q の任意のべきよりも速く増加する。
• 解析的ランク rkan(f ⊗ χ) が大きな整数 R を超える確率は、R に関して指数的に速く減少し、ある c > 0 に対して O(e^{-cR}) の割合で抑えられる。
• 第二モーメント推定から、トレース関数 t とモジュラー記号との相関和 Cf(t) が、非退化条件のもとで Cf(t) ≪ q^{-1/8 + ε}（任意の ε > 0）を満たすことが導かれる。
• 本稿は、Mazur-Rubin 予想の特殊な場合を検証する：特定のトレース関数 t に対して、相関和 Cf(t) は O(q^{-1/8 + ε}) で抑えられ、モジュラー記号分布における期待されるキャンセルが確認される。
• 例外的な場合（例：Kummer シーヴ）に対し、サブコンヴェクシティ推定を用いて相関和が O(q^{-1/8 + ε}) であることが示され、結果がすべてのケースに拡張される。