[論文レビュー] The Second Order Terms of the Variance Curves for Some Queueing Output Processes

Sophie Hautphenne, Yoav Kerner+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限容量キューの場合はドライジン逆行列を、無限容量キューの場合はデーリー変換を用いて、M/M/1/KおよびM/G/1キューイング出力プロセスにおける分散曲線の2次項（y切片）の明示的表現を導出する。主な貢献は、y切片の閉形式による特徴付けであり、これによりBRAVO効果の理解が深まり、到着プロセスとキュー長プロセス間の漸近的共分散計算が可能になる。

ABSTRACT

We consider queueing output processes of some elementary queueing models such as the M/M/1/K queue and the M/G/1 queue. An important performance measure for these counting processes is their variance curve, indicating the variance of the number of served customers over a time interval. Recent work has revealed some non-trivial properties dealing with the asymptotic rate at which the variance curve grows. In this paper we add to the results by finding explicit expressions for the second order approximation of the variance curve, namely the y-intercept of the linear asymptote. For M/M/1/K queues our results are based on the Drazin inverse of the generator. It turns out that by viewing output processes as MAPs (Markovian Arrival Processes) and considering the Drazin inverse, one can obtain explicit expressions for the y-intercept, together with some further insight regarding the BRAVO effect (Balancing Reduces Asymptotic Variance of Outputs). For M/G/1 queues our results are based on a classic transform of D.J. Daley. In this case we represent the y-intercept of the variance curve in terms of the first three moments of the service time distribution. A further performance measure that we are able to calculate for both models, is the asymptotic covariance between the queue length and the number of arrivals or departures. In addition we shed light on a classic conjecture of Daley, dealing with characterization of stationary M/M/1 queues within the class of stationary M/G/1 queues, based on the variance curve.

研究の動機と目的

• M/M/1/KおよびM/G/1キューにおける分散曲線のy切片の明示的表現を導出すること。これは、線形増加率を超えた2次漸近的挙動を捉える。
• 有限容量M/M/1/Kキューにおけるドライジン逆行列の使用を通じて、BRAVO効果（出力分散の漸近的低減をもたらすバランスの効果）のより深い理解を提供すること。
• 定常状態下でのM/G/1キューにおいて、到着数とキュー長の間の漸近的共分散を計算すること。
• 分散曲線の性質に基づいて、M/M/1キューが定常M/G/1キューのクラス内でどのように特徴づけられるかというデーリーの予想を検証すること。
• 漸近的分散曲線近似 $ v(t) = \overline{v}t + \overline{b} + o(1) $ が成り立つ条件、特にy切片 $ \overline{b} $ が成り立つ条件を確立すること。

提案手法

• M/M/1/Kキューでは、生成行列のドライジン逆行列を用いて平均到達時間を計算し、その結果をもとに分散曲線のy切片を導出する。
• M/G/1キューでは、D.J. デーリーによる古典的積分変換を用いて、y切片をサービス時間分布の最初の3つのモーメントで表現する。
• 漸近的分散および共分散極限の存在を保証するため、定常性および混合性の条件を仮定する。
• 到着数とキュー長の間の漸近的共分散は、離脱プロセスの分散とキュー長プロセスの分散および共分散を組み合わせることで導出される。
• 変動の関係を表す恒等式 $ D(t) = A(t) + Q(0) - Q(t) $ を用いて、離脱プロセスの分散を到着数とキュー長の共分散に結びつける。
• 理論的導出は、サービス時間の3次モーメントに関する仮定およびキュー長プロセスの混合性に関する仮定を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常M/M/1/Kキューの分散曲線におけるy切片 $ \overline{b}_e $ の明示的形は何か？ また、生成行列のドライジン逆行列とどのように関係しているか？
• RQ2 M/G/1キューにおける分散曲線のy切片は、サービス時間分布の最初の3つのモーメントでどのように表現できるか？
• RQ3 定常状態および有限な3次モーメントの下で、M/G/1キューにおける到着数とキュー長の間の漸近的共分散は閉形式で表現可能か？
• RQ4 ドライジン逆行列を用いたM/M/1/Kキューにおけるy切片の構造を通じて、BRAVO効果を解析的に説明できるか？
• RQ5 分散曲線の性質に基づいて、M/M/1キューが定常M/G/1キューの中で一意に特徴づけられるというデーリーの予想は、y切片の挙動に基づいて証明可能または反証可能か？

主な発見

• M/M/1/Kキューでは、生成行列のドライジン逆行列を用いてy切片 $ \overline{b}_e $ を明示的に導出しており、システムパラメータに非自明な依存関係があることが明らかになり、BRAVO効果の理解が深まる。
• M/G/1キューでは、y切片 $ \overline{b}_e $ がサービス時間分布の最初の3つのモーメントで表現されており、その式は分散係数の二乗 $ c^2 $ と歪度 $ \gamma $ に依存する。
• M/G/1キューにおける到着数 $ A(t) $ とキュー長 $ Q(t) $ の間の漸近的共分散は、$ \frac{\rho}{(1-\rho)^2}\left(1 + (c^2 - 1)\frac{\rho(2 - \rho)}{2}\right) $ に等しく、M/M/1の場合には $ \frac{\rho}{(1-\rho)^2} $ に簡略化される。
• M/M/1/Kキューでは、$ c^2 \leq 3 $ のときy切片が負となり、分散の増加が初期には線形より小さいことを示し、$ \lambda \approx \mu $ の臨界負荷付近でy切片にピークが現れ、BRAVO効果と一致する。
• 本稿では、サービス時間の3次モーメントが有限であるという仮定の下で、M/G/1キューのy切片 $ \overline{b}_e $ が有限であることを確認し、$ \rho $、$ c^2 $、$ \gamma $ に依存する式を提供する。
• 本研究では2つの未解決問題を特定している：分散曲線を用いたM/M/1キューの特徴づけに関するデーリーの予想の証明、および $ \rho > 1 $ のときの $ \overline{b}_\theta $ の閉形式表現の導出。