[論文レビュー] The second quantization method for indistinguishable particles (Lecture Notes in Physics, UFABC 2010)

V. S. Shchesnovich|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2013

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 4

ひとこと要約

この講義ノートは、区別不能な粒子の第二量子化形式を提示し、生成・消滅演算子、フォック空間の構造、ボソンおよびフェルミオンの統計演算子を導出する。1次元スピン鎖を二次的フェルミオンハミルトニアンに写像するジョルダン＝ウィグナー変換を確立し、正確な対角化を可能にするとともに、弱い相互作用を受けるボーズ・アインシュタイン凝縮系やスピン模型のスペクトルを明らかにする。

ABSTRACT

Contents 1. Creation and annihilation operators for the system of indistinguishable particles 1.1 The permutation group and the states of a system of indistinguishable particles 1.2 Dimension of the Hilbert space of a system of indistinguishable particles 1.3 Definition and properties of the creation and annihilation operators 1.4 TheFockspace 1.5 The representations of state vectors and operators 1.5.1 N-particlewave-functions 1.5.2 The second-quantization representation of operators 1.5.3 Examples 1.6 Evolution of operators in the Heisenberg picture 1.7 Statistical operators of indistinguishable particles 1.7.1 The averages of the s-particle operators 1.7.2 The general structure of the one-particle statistical operator 2 Quadratic Hamiltonian and the diagonalization 2.1 Diagionalization of the Hamiltonian quadratic in the fermion operators 2.2 Diagionalization of the Hamiltonian quadratic in the boson operators 2.2.1 Diagonalization of the quadratic bosonic Hamiltonian possessing a zero mode 2.3 Long range order, condensation and the Bogoliubov spectrum of weakly interacting Bose gas 2.3.1 The excitation spectrum of weakly interacting Bose gas inabox 2.3.2 The excitation spectrum of an interacting Bose gas in an externalpotential 2.4 The Jordan-Wigner transformation: fermionization of interacting 1D spin chains

研究の動機と目的

• 区別不能な粒子（ボソンおよびフェルミオンを含む）の厳密な第二量子化フレームワークを構築すること。
• 置換群の対称性から、フォック空間の構造および生成・消滅演算子の性質を導出すること。
• ジョルダン＝ウィグナー変換を用いて、1次元鎖におけるスピン演算子とフェルミオン的演算子との間の関係を確立すること。
• 特に弱い相互作用を受けるボーズ・アインシュタイン凝縮系およびXYスピン鎖に対して、二次的ハミルトニアンの対角化を可能にすること。
• 第二量子化における統計演算子および多体観測量の期待値を体系的に構成する方法を提供すること。

提案手法

• 置換群の射影子を用いて、単粒子状態のテンソル積からN粒子系のヒルベルト空間を構成し、ボソンでは対称部分空間、フェルミオンでは反対称部分空間に射影する。
• 生成・消滅演算子をフォック状態への作用によって定義し、置換群の符号に基づいて正しい交換関係または反交換関係を保証する。
• フォック空間をN粒子ヒルベルト空間の直和として定義し、真空状態に生成演算子を作用させることで基底状態を構築する。
• 生成・消滅演算子の正規順序積を用いて、s粒子観測量を第二量子化形式で表現する。
• スピンz成分の過去の測定値を含むストリング演算子を用いて、非局所的にスピン1/2演算子をフェルミオン的演算子に写像するジョルダン＝ウィグナー変換を導入する。
• 特にフェルミオン系および弱い相互作用を受けるボーズ・アインシュタイン凝縮系に対して、正準変換を用いて二次的ハミルトニアンを対角化し、ボゴリューボフスペクトルを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論的原理を用いて、区別不能な粒子に対する生成・消滅演算子をどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 フォック空間の構造は何か？ また、置換対称性を持つN粒子系のヒルベルト空間とどのように関係するか？
• RQ3 ジョルダン＝ウィグナー変換は、最近接相互作用を受ける1次元スピン1/2鎖をどのように二次的フェルミオン的ハミルトニアンに写像するか？
• RQ4 箱の中または外部ポテンシャル下の弱い相互作用を受けるボーズ・アインシュタイン凝縮系の励起スペクトルは何か？ また、長距離秩序や凝縮とどのように関係するか？
• RQ5 第二量子化形式において、統計演算子およびs粒子観測量の期待値を体系的にどのように構成できるか？

主な発見

• N個の区別不能なボソンのヒルベルト空間の次元は、$\binom{N + d - 1}{d - 1}$ で与えられ、フェルミオンでは $\binom{d}{N}$ である。ここでdは単粒子状態の数を表す。
• ジョルダン＝ウィグナー変換により、スピン演算子 $\sigma^{(j)}_{\pm}$ は $a_j = \left(\prod_{l=1}^{j-1} \sigma_z^{(l)}\right) \sigma_+^{(j)}$ を通じてフェルミオン的演算子に写像され、1次元スピン鎖の正確なフェルミオン化が可能になる。
• XYスピン鎖ハミルトニアンは、二次的フェルミオン的ハミルトニアンに写像され、$\sigma_x^{(j)}\sigma_x^{(j+1)}$ の項は $ (a_j^\dagger + a_j)(a_{j+1}^\dagger + a_{j+1}) $ に変換され、完全な対角化が可能になる。
• 箱の中の弱い相互作用を受けるボーズ・アインシュタイン凝縮系の励起スペクトルは、低運動量領域で線形分散関係 $\omega_k \approx ck$ を示し、ボゴリューボフ準粒子の特徴的性質である。
• $\sigma_z^{(j)} = 1 - 2\hat{n}_j$ および $\sigma_+^{(j)} = \left[\prod_{l=1}^{j-1}(1 - 2\hat{n}_l)\right] a_j$ の変換により、正しいスピン代数とフェルミオン表現における非局所性が保証される。
• 区別不能な粒子系の統計演算子は密度行列から構成され、1粒子密度行列は $\langle a_k^\dagger a_l \rangle$ の形で表現できる。