[論文レビュー] The Seiberg-Witten Map for Noncommutative Gauge Theories

Bianca L. Cerchiai, Andrea Pasqua+1 more|ArXiv.org|Jun 26, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、変形理論と発展方程式を用いて、非可換ヤン・ミルズ理論における Seiberg-Witten 写像を体系的に構成する手法を提示する。写像が非可換性パラメータ θ についての順次計算で明示的に得られることを示している。主な貢献は、ゲージ不変性を保ち、非可換ゲージ場およびゴースト場の局所的汎関数を与える、コhomological および発展方程式に基づくアプローチであり、特にチェーン＝シモンズ理論への応用により、変形下でも作用が不変であることが示された。

ABSTRACT

The Seiberg-Witten map for noncommutative Yang-Mills theories is studied and methods for its explicit construction are discussed which are valid for any gauge group. In particular the use of the evolution equation is described in some detail and its relation to the cohomological approach is elucidated. Cohomological methods which are applicable to gauge theories requiring the Batalin-Vilkoviskii antifield formalism are briefly mentioned. Also, the analogy of the Weyl-Moyal star product with the star product of open bosonic string field theory and possible ramifications of this analogy are briefly mentioned.

研究の動機と目的

• 任意のゲージ群に対して、非可換ヤン・ミルズ理論における Seiberg-Witten 写像を一般かつ明示的に構成するための方法を開発すること。
• 変形パラメータ t における発展方程式を用いて Seiberg-Witten 写像を再定式化し、θ を tθ にスケーリングすること。
• 発展方程式アプローチと BRST および構造方程式に基づくコhomological 方法との関係を明確にすること。
• 縮退するゲージ対称性を必要とするゲージ理論に対して、Batalin-Vilkoviskii 反粒子形式を用いて形式を拡張すること。
• Weyl-Moyal 星積とオープンボソン弦場理論における星積との類似性を探索し、弦理論への応用可能性を示唆すること。

提案手法

• θij → tθij とすることで、非可換構造を一パラメータ族の理論に変換する変形パラメータ t を導入する。
• t による微分を用いて、変形された BRST 構造方程式から、非可換ゲージ場 Ai(t) およびゴースト Λ(t) の発展方程式を導出する。
• dAi/dt = −1/4 θ^{rs} {Ai,r ⋆ ∂sAi + Fsk} という発展方程式を用いて、θ の高次補正を再帰的に計算する。
• BRST複体におけるコhomological 技法を用い、θ の各次数で変形の整合性を保証する。
• A_i^{(1)} および Λ^{(1)} を可換場の微分および交換子で明示的に与える、θ における局所的汎関数展開として Seiberg-Witten 写像を構成する。
• 発展方程式および星積の微分則を用いて、d/dt S_CS^t[A] = 0 を示し、チェーン＝シモンズ作用が変形下でも不変であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のゲージ群に対して、変形理論を用いて Seiberg-Witten 写像を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 非可換ゲージ理論の文脈において、発展方程式アプローチとコhomological 方法との明確な関係は何か？
• RQ3 チェーン＝シモンズ作用は、Seiberg-Witten 写像の下でもゲージ不変であり、古典的に同等であると保たれるのか、非可換領域においても成立するか？
• RQ4 Weyl-Moyal 星積の構造は、オープンボソン弦場理論における星積と関連づけられるか？その意味は何か？
• RQ5 縮退するゲージ対称性を有する理論に対して、Batalin-Vilkoviskii 反粒子形式を用いて Seiberg-Witten 写像をどのように一般化できるか？

主な発見

• Seiberg-Witten 写像は θ における局所的汎関数展開として構成され、1次補正の明示的表現が得られている：Λ^{(1)} = 1/4 θ^{kl} {∂kλ, al} および A_i^{(1)} = −1/4 θ^{kl} {ak, ∂l ai + fli}。
• 発展方程式アプローチにより、Seiberg-Witten 写像の高次項を再帰的に計算する方法が得られ、dAi/dt は星積および場強度の特定の組み合わせで与えられる。
• 3次元におけるチェーン＝シモンズ作用は変形に対して不変である：d/dt S_CS^t[A] = 0 であり、S_CS^1[A] = S_CS^0[a] が成り立つ。これは、可換および非可換の場合に作用が同一であることを示している。
• 非可換ゲージ場 Ai およびゴースト Λ は、非自明な星積構造のため、リー代数そのものではなく、リー代数の包絡代数の汎関数であることが示された。
• BRST作用素 s は変形されておらず、s² = 0 および s∂i = ∂is を満たすため、変形全体を通してコhomological 構造の整合性が保たれている。
• Batalin-Vilkoviskii 反粒子形式を用いることで、縮退するゲージ対称性を有する理論に対しても形式が拡張可能であり、Seiberg-Witten 写像のより広範な適用可能性が示唆された。