[論文レビュー] The semi-commutator of Toeplitz operators on the bidisc

Caixing Gu, Dechao Zheng|arXiv (Cornell University)|May 22, 1996

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、二変数のヒルバート空間におけるトーピツ作用素の半可換子 $T_fT_g - T_{fg}$ がゼロ、有限ランク、またはコンパクトである条件を同定する。リトルウッド＝ペイリー理論と分布関数の不等式を用いて、半可換子がゼロであるための必要十分条件は、各変数 $z_i$ に対して、$ar{f}$ または $g$ が $z_i$ に関して正則であることであると証明する。さらに、二重円板上では非ゼロの有限ランク半可換子は存在しないことが示され、トーラス $T^2$ 上で連続な記号を持つコンパクト半可換子の明示的例が提示され、コンパクト性が消滅を意味しないことが示されている。

ABSTRACT

In this paper we characterize when the semi-commutator $T_fT_g-T_{fg}$ of two Toeplitz operators $T_f$ and $T_g$ on the Hardy space of the bidisc is zero. We also show that there is no nonzero finite rank semi-commutator on the bidisc. Furthermore explicit examples of compact semi-commutators with symbols continuous on the bitorus $T^2$ are given.

研究の動機と目的

• 二重円板上における二つのトーピツ作用素の半可換子 $T_fT_g - T_{fg}$ がゼロとなる条件を同定する。
• 二重円板上では非ゼロの有限ランク半可換子は存在しないことを確立する。これは単位円板の場合とは対照的である。
• 記号が可分である場合、すなわち $f(z_1,z_2) = f_1(z_1)f_2(z_2)$, $g(z_1,z_2) = g_1(z_1)g_2(z_2)$ のとき、半可換子のコンパクト性の必要十分条件を提供する。
• トーラス $T^2$ 上で連続な記号を持つコンパクト半可換子の明示的例を構成する。
• 二重円板の設定において、半可換子のコンパクト性と消滅の違いを明確にし、前者が後者を意味しないことを示す。

提案手法

• 半可換子は恒等式 $T_fT_g - T_{fg} = -H^*_{\bar{f}}H_g$ を用いてヘンケル作用素と関連づけられ、これにより解析が可能になる。
• 調和解析とリトルウッド＝ペイリー公式を用いて、半可換子に関係する内積を、共正則関数の微分の $L^2$ ノルムで表現する。
• Zheng [13] が示した分布関数の不等式を用いて、各変数におけるヘンケル作用素ノルムの成長を制御する。
• 再生核技術を用いて、半可換子が $H^2(D^2)$ 上に与える作用を解析する。特に、正規化された核 $k_z$ を用いる。
• コンパクト性は、$\|T_fT_g - T_{fg} - K_r\| \to 0$ ($r \to 1$ のとき) を示すことにより確立する。ここで $K_r$ はコンパクト作用素である。
• 可分な記号形態により、半可換子を各変数におけるヘンケル作用素の積に分解でき、$\lim_{z_i \to T} \|H_{f_i}k_{z_i}\| \|H_{g_i}k_{z_i}\| = 0$ の極限を解析可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重円板上における二つのトーピツ作用素の半可換子 $T_fT_g - T_{fg}$ がゼロとなるのはいつか？
• RQ2 二重円板上では、半可換子が非ゼロでも有限ランクになり得るか？
• RQ3 特に可分な記号の場合に、半可換子がコンパクトであるための条件は何か？
• RQ4 トーラス $T^2$ 上で連続な記号を持つ非自明なコンパクト半可換子は存在するか？
• RQ5 二重円板上では、半可換子のコンパクト性がその消滅を意味するのだろうか？これは単位円板の場合と同様か？

主な発見

• 半可換子 $T_fT_g - T_{fg}$ がゼロであるための必要十分条件は、$i = 1,2$ について、$ar{f}$ または $g$ が $z_i$ に関して正則であることである。
• 二重円板上では非ゼロの有限ランク半可換子は存在せず、これは単位円板とは対照的である（単位円板では有限ランク半可換子が存在しうる）。
• 可分な記号 $f = f_1f_2$, $g = g_1g_2$ の場合、半可換子がコンパクトであるための必要十分条件は、$T$ 上で $f_1g_1 = 0$ かつ $f_2g_2 = 0$ であり、さらに $\lim_{z_i \to T} \|H_{f_i}k_{z_i}\| \|H_{g_i}k_{z_i}\| = 0$ が成り立つことである。
• トーラス $T^2$ 上で連続な記号を持つコンパクト半可換子の明示的例が構成され、コンパクト性が消滅を意味しないことが示された。
• 一般の記号に対しては、条件 $\lim_{z_i \to T} \|H_{f_i}k_{z_i}\| \|H_{g_i}k_{z_i}\| = 0$ は十分ではないことが、第4節の例によって示された。
• 半可換子のコンパクト性はその消滅を意味せず、コンパクトだが非ゼロであるような連続記号が存在する。