[論文レビュー] THE SEMILATTICE, BOX, AND LATTICE-TENSOR PRODUCTS IN QUANTUM LOGIC

Boris Ischi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2005

Advanced Algebra and Logic参考文献 16被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、量子複合系をモデル化するための公理または普遍的性質に基づいて定義される完全原子的ラティスの完全ラティス S(L₁, L₂) を導入する。orthocomplementation が要求される場合、S が分離積 L₁ ∧○L₂ に同型であることを確立し、orthomodularity およびカバー性の下で自己同型とカバー性を特徴づけ、L₁ ∨○L₂ は join-semilattice tensor product であり、Chu と Shmuely の構成と同型であることを示す。

ABSTRACT

Abstract. Given two complete atomistic lattices L1 and L2, we define a set S = S(L1, L2) of complete atomistic lattices by means of three axioms (natural regarding the description of quantum compound systems), or in terms of a universal property with respect to a given class of bimorphisms. We prove that S is a complete lattice. The bottom element L1 ∧○L2 is the separated product of Aerts. For atomistic lattices with 1 (not complete), L1 ∧○L2 ∼ = L1□L2 the box product of Grätzer and Wehrung, and, in case L1 and L2 are moreover coatomistic, L1 ∧○L2 ∼ = L1 ⊠ L2 the lattice tensor product. The top element L1 ∨○L2 is the (complete) join-semilattice tensor product of Fraser, which is isomorphic to the tensor products of Chu and Shmuely. With some additional hypotheses on L1 and L2 (true if L1 and L2 are moreover orthomodular with the covering property), we prove that S is a singleton if and only if L1 or L2 is distributive, if and only if L1 ∨○L2 has the covering property. Our main result reads: L ∈ S admits an orthocomplementation if and only if L = L1 ∧○L2. For L1 and L2 moreover irreducible, we characterize the automorphisms of each L ∈ S in terms of those of L1 and L2. At the end, we construct an example L1 ⇓○L2 in S which has the covering property. 1.

研究の動機と目的

• 量子複合系をモデル化する完全原子的ラティスの普遍的構成 S(L₁, L₂) を定義すること。
• 双準同型に関する公理および普遍的性質を用いて、S(L₁, L₂) の構造を特徴づけること。
• S(L₁, L₂) がシングルトンである条件を特定すること。特に分配的性およびカバー性との関係を含む。
• S(L₁, L₂) の要素に orthocomplementation が存在する条件を確立し、それが正確に分離積 L₁ ∧○L₂ であることを示すこと。
• L₁ と L₂ が両方とも非可約であるとき、S(L₁, L₂) の要素の自己同型が L₁ と L₂ の自己同型によってどのように特徴づけられるかを明らかにすること。

提案手法

• 量子複合系の自然な性質を反映する3つの公理により S(L₁, L₂) を定義すること。
• 双準同型のクラスに関して普遍的性質を用いて、S(L₁, L₂) を圏論的に特徴づけること。
• 与えられた公理の下で S(L₁, L₂) が完全ラティスであることを証明すること。
• 下部要素 L₁ ∧○L₂ を Aerts の分離積と特定し、ラティスが原子的かつ1を持つ場合、L₁□L₂ であるボックス積と同型であることを示すこと。
• L₁ ∨○L₂ が Fraser の join-semilattice tensor product であり、Chu と Shmuely の構成と同型であることを確立すること。
• orthomodularity およびカバー性を用いて、S(L₁, L₂) がシングルトンである条件と自己同型の特徴づけを分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S(L₁, L₂) がシングルトンである条件は何か？ これは L₁ または L₂ の分配的性とどのように関係するか？
• RQ2 S(L₁, L₂) の要素 L が orthocomplementation を持つのはいつか？ その一意的な要素は何か？
• RQ3 L₁ と L₂ が両方とも非可約であるとき、S(L₁, L₂) の要素の自己同型は L₁ と L₂ の自己同型とどのように関係するか？
• RQ4 L₁ ∨○L₂ のカバー性と L₁ または L₂ の分配的性との関係は何か？
• RQ5 coatomistic および atomistic の仮定の下で、ボックス積 L₁□L₂ とラティステンソル積 L₁ ⊠ L₂ は、分離積 L₁ ∧○L₂ とどのように関係するか？

主な発見

• 与えられた公理の下で S(L₁, L₂) は完全ラティスであり、量子複合系をモデル化する普遍的枠組みを提供する。
• 下部要素 L₁ ∧○L₂ は Aerts の分離積であり、orthocomplementation を持つ S(L₁, L₂) の唯一の要素である。
• L₁ と L₂ が原子的かつ1を持つ場合、L₁ ∧○L₂ はボックス積 L₁□L₂ と同型である。
• L₁ と L₂ が coatomistic かつ atomistic である場合、L₁ ∧○L₂ はラティステンソル積 L₁ ⊠ L₂ と同型である。
• L₁ ∨○L₂ は Fraser の join-semilattice tensor product であり、Chu と Shmuely のテンソル積と同型である。
• S(L₁, L₂) がシングルトンであるのは、L₁ または L₂ が分配的であるときであり、これは L₁ ∨○L₂ がカバー性を持つときに正確に成立する。