[論文レビュー] The separation problem for regular languages by piecewise testable languages

Lorijn van Rooijen, Marc Zeitoun|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2つの正則言語が部分的にテスト可能な言語（PT言語）によって分離可能かどうかを判定する多項式時間アルゴリズムを提示する。PT言語は、禁止される部分語によって定義可能な言語のクラスである。この手法は、元のアルファベットの冪集合上での精緻なオートマトン構成を用いて位相的閉包を表現し、効率的な積集合のチェックを可能にし、PT言語に対する分離問題の直接的かつ効率的な解法をもたらす。

ABSTRACT

Separation is a classical problem in mathematics and computer science. It asks whether, given two sets belonging to some class, it is possible to separate them by another set of a smaller class. We present and discuss the separation problem for regular languages. We then give a direct polynomial time algorithm to check whether two given regular languages are separable by a piecewise testable language, that is, whether a $BΣ1(

研究の動機と目的

• 正則言語の分離問題を、部分的にテスト可能な言語を仲介として解くこと。
• 複雑なプロファイント半群理論に依存しない直接的で効率的なアルゴリズムを提供すること。
• 2つの正則言語のPT分離可能性を決定する多項式時間手続きを確立すること。
• アルメイダとツァイトゥーンの代数的議論を、オートマトンに基づく閉包表現を用いて精緻化・構成的に行うこと。
• 特定の条件下で、状態数およびアルファベットサイズの両方に関して多項式時間にまで複雑度を改善すること。

提案手法

• 元のアルファベットの冪集合 $2^A$ 上の拡張オートマトンを構築し、正則言語の位相的閉包を表現する。
• 閉包オートマトンを用いて、2つの正則言語の閉包が交差するかどうかをテストし、これが分離可能性を決定する。
• 閉包オートマトンの空集合判定と積集合判定がNLOGSPACEで可能であることに着目し、多項式時間の複雑度を達成する。
• アルメイダの代数的議論の修正版を適用し、非分離性が両オートマトンに共通の $(\vec{u}, \vec{B})$-パスが存在することを意味することを示す。
• $(\vec{u}, \vec{B})$-適切な列の概念を定義し、言語の構造的性質を抽出する。
• 両言語に $(\vec{u}, \vec{B})$-適切な列が存在するならば、両オートマトンに $(\vec{u}, \vec{B})$-パスが存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの正則言語が部分的にテスト可能な言語によって分離可能かどうかを、多項式時間で決定できるか？
• RQ2 2つの正則言語が部分的にテスト可能な言語によって分離不能となる構造的条件は何か？
• RQ3 アルゴリズム的用途のために、正則言語の位相的閉包を効果的に表現する方法は何か？
• RQ4 プロファイント半群理論に依存しない直接的で構成的なPT分離可能性のアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 共通の $(\vec{u}, \vec{B})$-パスの存在と、2つの言語がPT言語によって分離不能であることとの正確な関係は何か？

主な発見

• 本稿では、2つの正則言語が部分的にテスト可能な言語によって分離可能かどうかを判定する多項式時間アルゴリズムを提示する。
• このアルゴリズムは、入力アルファベットの冪集合上に構築された閉包オートマトンに基づいており、効率的な積集合および空集合のチェックを可能にする。
• この構成は、決定的および非決定的有限オートマトンの両方に対して有効であり、状態数に関しては多項式時間、アルファベットサイズに関しては指数時間の時間計算量を示す。
• 非分離性は、両言語のオートマトンに共通の $(\vec{u}, \vec{B})$-パスが存在することによって特徴づけられる。
• 証明により、両言語に $(\vec{u}, \vec{B})$-適切な列が存在するならば、両オートマトンに $(\vec{u}, \vec{B})$-パスが存在することが示された。
• この手法は、プロファイント半群理論からの代数的議論を構成的かつ直接的に精緻化し、アルゴリズム的利用に向けた可読性と効率性を高めている。