[論文レビュー] The sextonions and $E_{7\frac 12}$

J. M. Landsberg, Laurent Manivel|ArXiv.org|Feb 10, 2004

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、クaternionとオクタニオンの間の6次元代数としてのセクソニオンを導入し、フロイデンタールの魔法の正方形に欠落していた行を埋めることで、$\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$ と呼ばれる $\mathfrak{e}_7$ と $\mathfrak{e}_8$ の間の中間的Lie代数を構成する。著者らは、この代数が例外的Lie代数の主要な次元および分解公式を満たすことを示し、オクタニオンにおける随伴多様体およびクaternion的／セクソニオン的部分代数の幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

We fill in the "hole" in the exceptional series of Lie algebras that was observed by Cvitanovic, Deligne, Cohen and deMan. More precisely, we show that the intermediate Lie algebra between $E_7$ and $E_8$ satisfies some of the decomposition and dimension formulas of the exceptional simple Lie algebras. A key role is played by the sextonions, a six dimensional algebra between the quaternions and octonions. Using the sextonions, we show simliar results hold for the rows of an expanded Freudenthal magic chart. We also obtain new interpretations of the adjoint variety of the exceptional group $G_2$.

研究の動機と目的

• ツビチノビッチ、デリーニ、コーエン、デマンが特定した例外的Lie代数系列における「穴」を埋めること。彼らは、次元6の合成代数が欠落していると予測していた。
• クォータニオンとオクタニオンの間の非可換6次元代数としてのセクソニオン代数を定義し、その性質を調査すること。
• セクソニオンに三重性（triangularity）を適用することで、$\mathfrak{e}_7$ と $\mathfrak{e}_8$ の間にある中間的Lie代数 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$ を構成すること。
• セクソニオンに基づいた新しい行をフロイデンタールの魔法の正方形に拡張し、例外的Lie代数の次元および分解公式が依然として成り立つことを検証すること。
• オクタニオンにおけるクaternion的部分代数を用いて、$G_2$ の随伴多様体およびクaternion的部分代数の幾何的解釈を新たに提供すること。

提案手法

• セクソニオン代数を、オクタニオンの部分代数として構成する非可換な $\mathbb{C}$ 上の6次元代数として定義する。
• 文献[24]の三重性構成を用いて、中間的Lie代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \overline{\mathfrak{g}}_1 \oplus \overline{\mathfrak{g}}_2$ を定義する。ここで $\mathfrak{h}$ は $\mathfrak{e}_8$ の $\mathbb{Z}$-順序付き部分代数の半単純部である。
• $\overline{\mathfrak{g}} = \mathfrak{e}_8$ の5段階順序付き構造を用いて、中間代数 $\mathfrak{g}$ を $\mathfrak{h} \oplus \overline{\mathfrak{g}}_1 \oplus \overline{\mathfrak{g}}_2$ として定義する。ここで $\overline{\mathfrak{g}}_2 \simeq \mathbb{C}$ である。
• 随伴多様体 $X^{ad}(\mathfrak{g})$ を、$\mathbb{P}\mathfrak{g}$ 内の最高重量ベクトルの軌道の閉包として構成し、随伴表現における直線をパラメトライズする。
• $G_{\omega}(\mathbb{H}^3, \mathbb{H}^6)$ および $G_{\omega}(\SS^3, \SS^6)$ の幾何を用いて、$\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$ の随伴多様体を $PSp(6,\SS)$-同調多様体として記述する。
• 好ましい表現における最高重量ベクトルの軌道の閉包を解析し、次元25の新しいセベリ多様体が得られ、1つの顕著な二重点を持つことを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオンとオクタニオンの間の6次元合成代数は存在するのか？ もし存在するならば、どのような代数的・幾何的構造を支えるのか？
• RQ2 セクソニオンから三重性を用いて中間的Lie代数 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$ を構成できるか？ また、例外的Lie代数の主要な性質を満たすか？
• RQ3 フロイデンタールの魔法の正方形にセクソニオンから構成された新しい行を追加した場合、例外的系列の次元および分解公式は依然として成り立つか？
• RQ4 オクタニオンにおけるセクソニオン的部分代数を用いて、$G_2$ の随伴多様体を幾何的にどのように解釈できるか？
• RQ5 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$ の随伴表現における最高重量ベクトルの軌道の閉包の幾何はどのようなものか？ そして、それは新しいセベリ多様体を生じるか？

主な発見

• セクソニオン代数は、クォータニオンとオクタニオンの間にある6次元非可換代数であり、三重性構成を支える。
• 中間的Lie代数 $\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}}$ は $\mathfrak{h} \oplus \overline{\mathfrak{g}}_1 \oplus \overline{\mathfrak{g}}_2$ として構成され、$\overline{\mathfrak{g}} = \mathfrak{e}_8$ に対して $\mathfrak{h} = [\overline{\mathfrak{g}}_0, \overline{\mathfrak{g}}_0]$ である。この代数は $\mathfrak{e}_7$ と $\mathfrak{e}_8$ の間に厳密に位置する。
• 随伴多様体 $X^{ad}(\mathfrak{e}_{7\frac{1}{2}})$ は次元25であり、$PSp(6,\SS)$-軌道としての $G_{\omega}(\SS^3, \SS^6)$ に同型である。これにより、拡張された魔法の正方形におけるその役割が裏付けられる。
• $G_{\omega}(\SS^3, \SS^6)$ には1つの顕著な二重点しかなく、これはその接線的四次多様体が一意の特異点を持つことを意味し、接線的四次多様体の外側の任意の点は一意のセカント直線を通る。
• 随伴多様体 $X^{ad}(\SS, \mathbb{H})$ は、$\mathbb{C}^{12}$ 内のアインシュタイン平面 $P$、$P$ を含む最大アインシュタイン部分空間 $\Sigma$、および $z \in \mathbb{C}$ からなる三つ組 $(P, \Sigma, z)$ をパラメトライズし、25次元の多様体を形成する。
• 最高重量ベクトルの軌道の閉包 $\mathbb{P}\mathfrak{g}(\SS, \mathbb{H})$ から新しいセベリ多様体が得られ、これは25次元であり、6次元におけるメタシンプレクティック幾何構造を備える。