[論文レビュー] The sGG Class of Compact Complex Manifolds

Dan Popovici, Luis Ugarte|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2014

Geometry and complex manifolds被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Gauduchon錐と強くGauduchon錐が一致することで定義されるコンpakト複素多様体のクラス sGG を導入し、ホッジ、ボット＝チエルン、ベッチ数を含む数値的特徴付けを提供する——特に $b_1 = 2h^{0,1}_{\bar\theta}$ は、ケーラー曲面の性質を模倣する。このクラスは小さな変形および変形に対して安定であるが、変形閉じていない。また、主要な幾何的錐の下半連続性を確立するために、弱い「偽ホッジ＝アイペプリ分解」が導入される。

ABSTRACT

We study the compact complex manifolds whose Gauduchon cone coincides with the (a priori smaller) strongly Gauduchon (sG) cone and give numerical characterisations of sGG manifolds defined in this way involving certain Hodge, Bott-Chern and Betti numbers, one of which is $b_1=2h^{0,\,1}_{\bar\partial}$ which makes them K\ahler-surface-like. As this class of manifolds contains the class of $\partial\bar\partial$-manifolds and is contained in that of sG manifolds, we exhibit examples showing these inclusions to be strict and sGG manifolds to be unrelated to balanced manifolds and to those whose Fr\olicher spectral sequence degenerates at $E_1$. This new manifold class is also shown to be stable under small deformations of the complex structure and under modifications, while we notice three examples showing it not to be deformation closed. Although the Hodge decomposition need not hold on sGG manifolds, we prove the existence of a weaker substitute thereof that we call {\it fake Hodge-Aeppli decomposition} and that we then use to prove semi-continuity properties of the pseudo-effective and the Gauduchon cones under deformations.

研究の動機と目的

• Gauduchon錐と強くGauduchon錐が一致するコンパクト複素多様体の新クラス——sGG 多様体——を定義し、特徴付けること。
• ケーラー曲面に類似した性質を示す、$b_1 = 2h^{0,1}_{\bar\theta}$ を含む数値的不変量を提供すること。
• sGG 多様体が他のクラス（$\bar\theta\bar\theta$-多様体、sG 多様体、バランスド多様体、Frölicherスペクトル系列が $E_1$ で退化する多様体）の位置関係を明確にすること。
• sGG クラスが小さな複素構造の変形および変形に対して安定であるかを調査すること。
• 「偽ホッジ＝アイペプリ分解」を確立し、それを用いて変形下での擬有効錐およびGauduchon錐の下半連続性を証明すること。

提案手法

• 論文は、ヘルミート計量の内在的幾何を活用して、Gauduchon錐と強くGauduchon錐の等価性により sGG 多様体を定義する。
• ボット＝チエルンコホモロジーとホッジ理論を用いて数値的不変量を導出し、特に $b_1$ と $h^{0,1}_{\bar\theta}$ を結びつけることで、ケーラーに類似した振る舞いを検出する。
• 完全なホッジ分解が sGG 多様体上で失敗する場合の代替として、「偽ホッジ＝アイペプリ分解」の存在を証明する。
• sGG が sG 多様体および $\bar\theta\bar\theta$-多様体に真に含まれることを示す例を構成し、sGG 多様体がバランスド多様体や $E_1$-退化 Frölicher スペクトル系列を持つ多様体とは無関係であることを示す。
• コホモロジー的および計量解析的技法を用いて、sGG クラスが小さな変形および変形に対して安定であることを証明する。
• 偽ホッジ＝アイペプリ分解と変形論的議論を用いて、擬有効錐およびGauduchon錐の下半連続性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gauduchon錐と強くGauduchon錐が一致するコンパクト複素多様体を特徴付ける数値的不変量は何か？
• RQ2 sGG クラスは $\bar\theta\bar\theta$-多様体、sG 多様体、バランスド多様体、および $E_1$ で退化する Frölicher スペクトル系列を持つ多様体といった既知のクラスとどのように関係しているか？
• RQ3 sGG クラスは複素構造の小さな変形および変形に対して安定か？
• RQ4 sGG 多様体上にホッジ型分解が存在するか？もし存在しないなら、弱い代替は構成可能か？
• RQ5 sGG 多様体上で複素構造の変形の下で、擬有効錐およびGauduchon錐の下半連続性の性質は何か？

主な発見

• 明示的な例により、sGG クラスは $\bar\theta\bar\theta$-多様体と sG 多様体の間で真に中間的であることが示された。
• sGG 多様体では $b_1 = 2h^{0,1}_{\bar\theta}$ が成り立ち、ケーラー曲面に類似したホッジ構造を示している。
• sGG クラスは複素構造の小さな変形および変形に対して安定であるが、変形閉じていない。
• sGG 多様体上には「偽ホッジ＝アイペプリ分解」が存在し、完全なホッジ分解が失敗した場合の代替として機能する。
• 擬有効錐およびGauduchon錐は、sGG 多様体上で複素構造の変形の下で下半連続であることが、偽分解を用いて証明された。
• 例により、sGG 多様体がバランスド多様体や Frölicher スペクトル系列が $E_1$ で退化する多様体とは無関係であることが示された。