[論文レビュー] The sh-Lie algebra perturbation Lemma

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2007

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、sh-Lie（L∞）代数における摂動補題を確立し、可換複体の古典的摂動補題をホモトピーLie代数の文脈に拡張する。整域にℚを含む環上の可換複体の収縮が与えられたとき、元の複体にsh-Lie代数構造が与えられれば、より小さい複体に対しても自然なsh-Lie構造が誘導され、その関連するsh同値性はLie代数のねじれコチェーンとその随伴を介して実現され、ホモトピー下でも代数的構造が保存される。

ABSTRACT

Let R be a commutative ring which contains the rationals as a subring and let g be a chain complex. Suppose given an sh-Lie algebra structure on g, that is, a coalgebra perturbation of the coalgebra differential on the cofree coaugmented differential graded cocommutative coalgebra T' on the suspension of g and write the perturbed coalgebra as T". Suppose, furthermore, given a contraction of g onto a chain complex M. We show that the data determine an sh-Lie algebra structure on M, that is, a coalgebra perturbation of the coalgebra differential on the cofree coaugmented differential graded cocommutative coalgebra S' on the suspension of M, a Lie algebra twisting cochain from the perturbed coalgebra S" to the loop Lie algebra L on the perturbed coalgebra T", and an extension of this Lie algebra twisting cochain to a contraction of chain complexes from the Cartan-Chevalley-Eilenberg coalgebra on L onto S" which is natural in the data. For the special case where M and g are connected we also construct an explicit extension of the perturbed retraction to an sh-Lie map. This approach includes a very general solution of the master equation.

研究の動機と目的

• 可換複体の古典的摂動補題を、厳密な代数的恒等式の不成立に起因する高次ホモトピーが生じるsh-Lie代数（L∞-代数）の文脈に一般化すること。
• コ-ミュタティブなコールゲブラ間の写像のホモトピーが一般にはsh-Lie代数構造を保存しないという微妙な点に言及し、それを解消するための洗練された枠組みを提供すること。
• 与えられた収縮とコールゲブラ的摂動を用いて、sh-Lie代数構造を備えたより大きな複体𝔤と複体Mの間の自然なsh同値性を構成すること。
• 連結性の仮定の下で、リトラクション写像に対する明示的なsh逆写像を構成し、同値性が計算可能かつ構造を保存することを保証すること。

提案手法

• 対称コールゲブラ関手𝒮ᶜ、スuspension作用素s、ループLie代数関手ℒ、分類コールゲブラ関手𝒞を用いて、複体間の代数的構造を翻訳する。
• 元の摂動∂ on 𝔤 から誘導される、𝒮ᶜ[sM] 上の微分のコールゲブラ的摂動𝒟 により、M 上にsh-Lie代数構造を定義する。
• Lie代数のねじれコチェーンτ: 𝒮ᶜ𝒟[sM] → ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤] を構成し、M と𝔤 の間のホモトピー的同値性を符号化する。
• 𝒮ᶜ𝒟[sM] と 𝒞[ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤]] 間に、注入写像𝒯: 𝒮ᶜ𝒟[sM] → 𝒞[ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤]] を持つ可換複体の収縮を確立する。
• 普遍ねじれコチェーンの随伴を用いて、ループ代数の分類コールゲブラと対称コールゲブラとの間の整合性を保証し、sh-構造と適合させる。
• M と𝔤 が連結である場合、補題4.2を適用して、ねじれコチェーンの合成の間の明示的ホモトピーhCを構成し、リトラクション写像に対する明示的sh逆写像を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換複体の古典的摂動補題を、ホモトピー下でもsh-Lie代数構造を保存する形にどのように拡張できるか？
• RQ2 可換複体の収縮が、より小さい複体上にwell-definedなsh-Lie代数構造を誘導するための条件は何か？
• RQ3 収縮によって関連づけられた2つのsh-Lie代数の間で、自然なsh同値性を構成できるか？ もしそうなら、それはどのように代数的に符号化されるか？
• RQ4 どのような条件下で、収縮におけるリトラクション写像を高次ホモトピーを用いて明示的sh同型写像に高められるか？
• RQ5 なぜ単純なホモトピーの概念はsh-Lie代数構造を保存しないのか？ そして、これを高次ホモトピー構成（例：BΩ𝒮ᶜ）を用いてどのように是正できるか？

主な発見

• 𝔤 にsh-Lie代数構造が与えられれば、𝒮ᶜ[sM] 上の微分のコールゲブラ的摂動𝒟 により、M に自然なsh-Lie代数構造が誘導される。
• 収縮のデータと𝔤 におけるsh-Lie構造が、M と𝔤 の間のホモトピー同値性を符号化するLie代数のねじれコチェーンτ: 𝒮ᶜ𝒟[sM] → ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤] を決定する。
• τ の随伴により、𝒯: 𝒮ᶜ𝒟[sM] → 𝒞[ℒ𝒮ᶜ∂[s𝔤]] という、coaugmented dgコールゲブラの準同型写像が得られ、可換複体の収縮を実現する。
• この収縮はデータに関して自然であり、(M, 𝒟) と (𝔤, ∂) 間のsh同値性を実現する。この同値性は代数的構造を保存する。
• M と𝔤 が連結である場合、ねじれコチェーン間のホモトピーhC を用いて、リトラクション写像に対する明示的sh逆写像が構成され、同値性が計算可能であることが保証される。
• この構成により、単純なホモトピーではsh-Lie代数の世界を離れてしまうが、高次ホモトピー構成（例：BΩ𝒮ᶜ）を用いれば、構造がsh対象の圏内に留まることが示される。