[論文レビュー] The sharp bounds of the second and third Hankel determinants for the class SL^*

Shagun Banga, S. Sivaprasad Kumar|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ベルヌーイの右レムニスケートに関連する星型関数の族 $ \mathcal{SL}^* $ に対して、第二ハンケル行列式 $ H_2(3) = a_3a_5 - a_4^2 $ と第三ハンケル行列式 $ H_3(1) $ の鋭い上限を確立する。係数推定とアーベル関数の表現を用いて、$ |H_2(3)| \leq \frac{1}{36} $ および $ |a_3^2 - a_5| \leq \frac{1}{8} $ が示され、両者とも鋭いものであり、この族に関して未解決であった問題を解決する。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to obtain the sharp bounds of the Hankel determinants H_2(3) and H_3(1) for the well known class SL^* of starlike functions associated with the right lemniscate of Bernoulli. Further for n=3, we find the sharp bound of the Zalcman functional for the class SL^*. In addition, a couple of interesting results of SL^* is appended at the end.

研究の動機と目的

• 幾何関数論における未解決問題である、族 $ \mathcal{SL}^* $ における第二ハンケル行列式 $ H_2(3) $ の鋭い上界を求める。
• Zalcmanの予想における $ n=3 $ に対応する、族 $ \mathcal{SL}^* $ におけるZalcman汎関数 $ |a_3^2 - a_5| $ の鋭い上限を確立する。
• 初期係数および関連する汎関数の精密な推定を要する、第三ハンケル行列式 $ H_3(1) $ の鋭い上限を計算する。
• 特定のカーネル関数との畳み込みを用いた、関数が $ \mathcal{SL}^* $ に属するための必要十分条件を提示する。

提案手法

• $ f(z)/z $ の対数微分を用いて、係数 $ a_n $ をアーベル係数 $ p_n $ で表現する。
• $ p_1, p_2, p_3, p_4 $ を用いて $ H_2(3) $ を表す関数 $ F(x,y,z) $ の使用、パラメータ範囲における最適化。
• 補題 1.2 の適用により、$ a_n $ を $ p_n $ から導出した表現の絶対値を評価し、$ |a_3^2 - a_5| $ を有界化する。
• $ t \in (0,2) $ に対して $ S(t) = \sqrt{t} + i\sqrt{\sqrt{1+4t} - (t+1)} $ でパラメトライズされた右レムニスケート $ \gamma_1 $ の境界の表現。
• 関数 $ f \in \mathcal{SL}^* $ であるための必要十分条件として、$ \frac{1}{z}(f * H_t)(z) \neq 0 $ が $ \Delta $ 内で成り立つような畳み込みカーネル $ H_t(z) $ の定義。
• 極値関数の構成により鋭さの検証を実施し、たとえば $ f(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sqrt{1+t^4}-1}{t} dt\right) $ が上限に達することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 族 $ \mathcal{SL}^* $ における第二ハンケル行列式 $ H_2(3) $ の鋭い上界は何か？
• RQ2 族 $ \mathcal{SL}^* $ におけるZalcman汎関数 $ |a_3^2 - a_5| $ の鋭い上限は何か？
• RQ3 族 $ \mathcal{SL}^* $ における第三ハンケル行列式 $ H_3(1) $ の鋭い上限は何か？
• RQ4 特定のカーネル関数との畳み込みを用いた場合、関数が $ \mathcal{SL}^* $ に属するための必要十分条件は何か？
• RQ5 関数 $ \Theta(z) = \frac{z}{1 - \alpha z} $ が $ |\alpha| \leq \frac{1}{4} $ のとき $ \mathcal{SL}^* $ に属するか？

主な発見

• 第二ハンケル行列式の鋭い上限は $ |H_2(3)| \leq \frac{1}{36} $ であり、$ a_3 = a_5 = 0 $、$ a_4 = \frac{1}{6} $ を満たす関数 $ f(z) = z + \frac{z^5}{6} + \cdots $ によって達成される。
• Zalcman汎関数の鋭い上限は $ |a_3^2 - a_5| \leq \frac{1}{8} $ であり、$ a_3 = 0 $、$ a_5 = \frac{1}{8} $ を満たす極値関数 $ f(z) = z + \frac{z^5}{8} + \cdots $ によって等号が成立する。
• 第三ハンケル行列式 $ H_3(1) $ の鋭い上限は、$ a_2, a_3, a_4, a_5 $、$ H_2(2) $、および $ L = |a_4 - a_2 a_3| $ の精密な推定を通じて導出されるが、本文では単一の数値として明示的に示されていない。
• $ f \in \mathcal{S} $ が $ \mathcal{SL}^* $ に属するための必要十分条件は、$ H_t(z) $ がレムニスケート境界 $ S(t) $ を用いて定義されるとき、すべての $ z \in \Delta $ に対して $ \frac{1}{z}(f * H_t)(z) \neq 0 $ が成り立つことである。
• 関数 $ \Theta(z) = \frac{z}{1 - \alpha z} $ は、$ |\alpha| \leq \frac{1}{4} $ のときかつそのときに限り $ \mathcal{SL}^* $ に属する。これは、この条件下で $ \left| \left( \frac{1}{1 - \alpha z} \right)^2 - 1 \right| < 1 $ が成り立つことにより確認された。
• 極値関数 $ f(z) = z \exp\left( \int_0^z \frac{\sqrt{1 + t^4} - 1}{t} dt \right) $ が $ |a_3^2 - a_5| $ の鋭い上限に達することを示し、不等式の鋭さが確認された。