[論文レビュー] The shifting method and generalized Tur\'{a}n number of matchings

Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、辺の再配置におけるシフト法を用いて、$M_{k+1}$-自由グラフおよび二部グラフにおける$K_s$および$K^*_{s,t}$のコピーの最大数を計算することで、マッチングに対する正確な一般化トーラン数を決定する。完全グラフおよび完全スプリットグラフからの構成と一致するタイトな上界を確立し、これらの一般化トーラン問題の正確な極値値を解消する。

ABSTRACT

Given two graphs $T$ and $F$, the maximum number of copies of $T$ in an $F$-free graph on $n$ vertices is called the generalized Tur\\'{a}n number, denoted by $ex(n,T,F)$. When $T=K_2$, it reduces to the classical Tur\\'{a}n number $ex(n,F)$. Let $M_{k}$ be a matching with $k$ edges and $K^{*}_{s,t}$ a graph obtained from $K_{s,t}$ by replacing the part of size $s$ by a clique of the same size. In this paper, we show that for any $s\\geq 2$ and $n\\geq 2k+1$, \\[ ex(n,K_s,M_{k+1})=\\max\\left\\{\\binom{2k+1}{s}, \\binom{k}{s}+(n-k)\\binom{k}{s-1}\ ight\\}. \\] For any $s\\geq 1$, $t\\geq 2$ and $n\\geq 2k+1$, \\[ ex(n,K_{s,t}^*,M_{k+1})=\\max\\left\\{\\binom{2k+1}{s+t}\\binom{s+t}{t}, \\binom{k}{s}\\binom{n-s}{t}+(n-k)\\binom{k}{s+t-1}\\binom{s+t-1}{t}\ ight\\}. \\] Moreover, we also study the bipartite case of the problem. Let $ex_{bip}(n,T,F)$ be the maximum possible number of copies of $T$ in an $F$-free bipartite graph with each part of size $n$. We prove that for any $s,t\\geq 1$ and $n\\geq k$, \\[ ex_{bip}(n,K_{s,t},M_{k+1})=\\left\\{ \\begin{aligned} &\\binom{k}{s}\\binom{n}{t}+\\binom{k}{t}\\binom{n}{s}, & \\quad s\ eq t, &\\binom{k}{s}\\binom{n}{s},&\\quad s=t. \\end{aligned} \ ight. \\] Our proof is mainly based on the shifting method.

研究の動機と目的

• $M_{k+1}$-自由グラフにおける一般化トーラン数$ex(n, T, M_{k+1})$の正確な値を$T = K_s$および$T = K^*_{s,t}$について求める。
• 一般化トーラン問題を二部グラフの設定に拡張し、バランスの取れた二部グラフにおける$ex_{\text{bip}}(n, K_{s,t}, M_{k+1})$を計算する。
• 極値構成と一致するタイトな上界を確立し、一般化トーラン理論における未解決事項を解消する。
• シフト法が、$M_{k+1}$を避ける間で$クリーク$および$K^*_{s,t}$のコピー数を保存または増加させることの有効性を示す。

提案手法

• シフト法を用いて、任意の$M_{k+1}$-自由グラフを、$K_s$および$K^*_{s,t}$のコピー数を保存または増加させるシフト済みグラフに変換する。
• シフト済みグラフが、極値的構成としての$2k+1$頂点の完全グラフまたは完全スプリットグラフ$K_k \vee E_{n-k}$であることが示される。
• $K^*_{s,t}$の場合、頂点が集合$U_0$、$U'$、および$U \setminus U_0$にどのように分布するかに基づいてコピーを3種類に分類し、計数関数の凸性を用いて最大値を評価する。
• 二部グラフの場合、König-Hall定理を用いてサイズ$k$の頂点被覆$T$を特定し、すべての$M_{k+1}$-自由グラフを支配する完全スプリット二部グラフ$G^*$を導出する。
• $G^*$における$K_{s,t}$のコピー数を$|X_1| = x$の関数として計算し、$x \in \{0, \dots, k\}$における最大値を求めるために凸性を用いる。
• 極値の値は、区分的関数の端点$x=0$および$x=k$における評価により導出され、閉形式の式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $s \geq 2$および$n \geq 2k+1$のとき、$n$頂点の$M_{k+1}$-自由グラフにおける$K_s$コピーの最大数は何か？
• RQ2 s \geq 1$、$t \geq 2$、および$n \geq 2k+1$のとき、$n$頂点の$M_{k+1}$-自由グラフにおける$K^*_{s,t}$コピーの最大数は何か？
• RQ3 サイズ$n$の部分を持つバランスの取れた$M_{k+1}$-自由二部グラフにおける$K_{s,t}$コピーの最大数は何か？
• RQ4 シフト法を用いて、$M_{k+1}$を避ける間で$K_s$および$K^*_{s,t}$のコピー数を保存または増加させることは可能か？
• RQ5 $M_{k+1}$-自由グラフにおける$K_s$および$K^*_{s,t}$コピー数の最大値を達成する極値グラフは何か？

主な発見

• s \geq 2$および$n \geq 2k+1$のとき、一般化トーラン数は$ex(n, K_s, M_{k+1}) = \max\left\{\binom{2k+1}{s}, \binom{k}{s} + (n-k)\binom{k}{s-1}\right\}$を満たす。
• s \geq 1$、$t \geq 2$、および$n \geq 2k+1$のとき、$ex(n, K^*_{s,t}, M_{k+1}) = \max\left\{\binom{2k+1}{s+t}\binom{s+t}{t}, \binom{k}{s}\binom{n-s}{t} + (n-k)\binom{k}{s+t-1}\binom{s+t-1}{t}\right\}$である。
• 二部グラフの場合、$s \neq t$のとき$ex_{\text{bip}}(n, K_{s,t}, M_{k+1}) = \binom{k}{s}\binom{n}{t} + \binom{k}{t}\binom{n}{s}$であり、$s = t$のときは$\binom{k}{s}\binom{n}{s}$である。
• 非二部グラフの場合、これらの境界を達成する極値グラフは、完全グラフ$K_{2k+1}$および完全スプリットグラフ$K_k \vee E_{n-k}$である。
• シフト操作は、$K_s$および$K^*_{s,t}$のコピー数を保存または増加させ、計数関数の凸性を用いて、得られた極値グラフが最適であることが示される。
• 証明は、シフト済みグラフにおける$K_{s,t}$コピーの計数関数の凸性に依存しており、最大値が$\ell = 2k+1$または$\ell = k+1$の端点で達成されることを保証する。